На каком графике верно изображена функция y = − x 2 + x y=−x 2 +x ?

Чтобы понять, на каком графике верно изображена функция \( y = -x^2 + x \), давайте проанализируем эту параболу шаг за шагом.

1. Определение формы функции

Функция \( y = -x^2 + x \) является квадратичной, так как её можно записать в виде \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = -1 \), \( b = 1 \), и \( c = 0 \). Парабола открыта вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\( a < 0 \)).

2. Нахождение вершины параболы

Вершина квадратичной функции даёт информацию о максимуме или минимуме функции. Координаты вершины \( x_v \) можно найти по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения: \[ x_v = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим \( x_v \) в функцию, чтобы найти соответствующее значение \( y \): \[ y_v = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) \).

3. Нахождение корней функции

Чтобы найти корни функции, приравняем её к нулю: \[ -y + x^2 - x = 0 \Rightarrow x^2 - x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(x - 1) = 0 \] Следовательно, корни находятся в точках: \[ x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 1 \]

4. Начало координат

Теперь установим, что парабола будет пересекать ось \( y \) в точке \( (0, 0) \), поскольку при \( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 0 = 0 \]

5. Очертания графика функции

Теперь, зная, что парабола открыта вниз, имеет вершину в \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) \) и пересекает ось \( x \) в \( 0 \) и \( 1 \), можно нарисовать график:

• Вершина (максимум) находится в \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) \).
• Парабола пересекает ось \( x \) в точках \( (0, 0) \) и \( (1, 0) \).
• Парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину (в данном случае \( x = \frac{1}{2} \)).

Заключение

Теперь, когда мы разобрали график функции \( y = -x^2 + x \), вы сможете найти соответствующий график, который соответствует всем полученным критериям (открытие вниз, вершина, корни и точки пересечения осей). Если у вас есть конкретные графики для анализа, вы сможете с их помощью подтвердить правильность анализа, используя полученные данные о вершине и корнях.