Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р=0,7. Найдите вероятность того, что стрелку…
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р=0,7. Найдите вероятность того, что стрелку потребуется: а) ровно 4 попытки; б) от 1 до 3 попыток.
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать концепцию геометрического распределения, которое описывает количество попыток, необходимых для первого успешного события (в нашем случае — попадания в мишень).
Здесь вероятность успешного выстрела (попадания) равна \( p = 0,7 \), а вероятность неудачного выстрела (промаха) равна \( q = 1 - p = 0,3 \).
а) Вероятность того, что стрелку потребуется ровно 4 попытки
Для того чтобы стрелку потребовалось ровно 4 попытки, он должен промахнуться в первых 3 попытках, а на 4-й попытке попасть в цель. Это событие можно записать следующим образом:
- Промах в первой попытке: \( q \)
- Промах во второй попытке: \( q \)
- Промах в третьей попытке: \( q \)
- Попадание в четвёртой попытке: \( p \)
Следовательно, вероятность этого события будет равна:
\[ P(X = 4) = q^3 \cdot p = (0,3)^3 \cdot (0,7) \]
Теперь посчитаем:
\[ (0,3)^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027 \]
И теперь подставим значение:
\[ P(X = 4) = 0,027 \cdot 0,7 = 0,0189 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется ровно 4 попытки, составляет 0,0189.
б) Вероятность того, что стрелку потребуется от 1 до 3 попыток
Для этого случая мы нужно рассчитать сумму вероятностей того, что стрелку потребуется 1, 2 и 3 попытки.
Вероятность того, что стрелку потребуется 1 попытка (попал с первого выстрела): \[ P(X = 1) = p = 0,7 \]
Вероятность того, что стрелку потребуется 2 попытки (промахнулся с первого, попал со второго): \[ P(X = 2) = q \cdot p = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21 \]
Вероятность того, что стрелку потребуется 3 попытки (промахнулся с первых двух, попал с третьего): \[ P(X = 3) = q^2 \cdot p = (0,3)^2 \cdot 0,7 = 0,09 \cdot 0,7 = 0,063 \]
Теперь суммируем эти вероятности:
\[ P(1 \leq X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,7 + 0,21 + 0,063 \]
Посчитаем сумму:
\[ P(1 \leq X \leq 3) = 0,7 + 0,21 + 0,063 = 0,973 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется от 1 до 3 попыток, составляет 0,973.
Итоговые ответы:
а) Вероятность ровно 4 попытки: 0,0189
б) Вероятность от 1 до 3 попыток: 0,973
