Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать концепцию геометрического распределения, которое описывает количество попыток, необходимых для первого успешного события (в нашем случае — попадания в мишень).
Здесь вероятность успешного выстрела (попадания) равна ( p = 0,7 ), а вероятность неудачного выстрела (промаха) равна ( q = 1 - p = 0,3 ).
а) Вероятность того, что стрелку потребуется ровно 4 попытки
Для того чтобы стрелку потребовалось ровно 4 попытки, он должен промахнуться в первых 3 попытках, а на 4-й попытке попасть в цель. Это событие можно записать следующим образом:
- Промах в первой попытке: ( q )
- Промах во второй попытке: ( q )
- Промах в третьей попытке: ( q )
- Попадание в четвёртой попытке: ( p )
Следовательно, вероятность этого события будет равна:
[
P(X = 4) = q^3 \cdot p = (0,3)^3 \cdot (0,7)
]
Теперь посчитаем:
[
(0,3)^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027
]
И теперь подставим значение:
[
P(X = 4) = 0,027 \cdot 0,7 = 0,0189
]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется ровно 4 попытки, составляет 0,0189.
б) Вероятность того, что стрелку потребуется от 1 до 3 попыток
Для этого случая мы нужно рассчитать сумму вероятностей того, что стрелку потребуется 1, 2 и 3 попытки.
Вероятность того, что стрелку потребуется 1 попытка (попал с первого выстрела):
[
P(X = 1) = p = 0,7
]
Вероятность того, что стрелку потребуется 2 попытки (промахнулся с первого, попал со второго):
[
P(X = 2) = q \cdot p = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21
]
Вероятность того, что стрелку потребуется 3 попытки (промахнулся с первых двух, попал с третьего):
[
P(X = 3) = q^2 \cdot p = (0,3)^2 \cdot 0,7 = 0,09 \cdot 0,7 = 0,063
]
Теперь суммируем эти вероятности:
[
P(1 \leq X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,7 + 0,21 + 0,063
]
Посчитаем сумму:
[
P(1 \leq X \leq 3) = 0,7 + 0,21 + 0,063 = 0,973
]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется от 1 до 3 попыток, составляет 0,973.
Итоговые ответы:
а) Вероятность ровно 4 попытки: 0,0189
б) Вероятность от 1 до 3 попыток: 0,973
