Из пристани A в ристань B вниз по течению реки отправились яхта и лодка. Доплыв до пристани B, яхта сразу повернула обратно. В момент её возвращения в пристань A лодка добралась…

Для решения задачи будем использовать понятие скорости и времени. Давайте определим необходимые обозначения:

• \( V_y = 25 \) км/ч — собственная скорость яхты;
• \( V_l = 7 \) км/ч — собственная скорость лодки;
• \( V_t \) — скорость течения реки (которую мы ищем);
• \( D \) — расстояние от пристани A до пристани B.

Шаг 1: Определим скорости относительно течения реки

• Скорость яхты по течению реки будет равна:
  \( V_{y,\text{по течению}} = V_y + V_t = 25 + V_t \) км/ч.

• Скорость яхты против течения реки (когда она возвращается) будет равна:
  \( V_{y,\text{против течения}} = V_y - V_t = 25 - V_t \) км/ч.

• Скорость лодки по течению реки будет равна:
  \( V_{l,\text{по течению}} = V_l + V_t = 7 + V_t \) км/ч.

Шаг 2: Найдем время, потраченное на поездку

1. Время, которое яхта затрачивает на путь от A до B:
   \( t_y = \frac{D}{V_{y,\text{по течению}}} = \frac{D}{25 + V_t} \).

2. Время, которое яхта затрачивает на обратный путь от B до A:
   \( t_y' = \frac{D}{V_{y,\text{против течения}}} = \frac{D}{25 - V_t} \).

Таким образом, общее время, затраченное яхтой на поездку туда и обратно:
\[ T_{y} = t_y + t_y' = \frac{D}{25 + V_t} + \frac{D}{25 - V_t} \]

3. Время, которое лодка затрачивает на путь от A до B:
   \( t_l = \frac{D}{V_{l,\text{по течению}}} = \frac{D}{7 + V_t} \).

Шаг 3: Установим соотношение времён

По условию задачи, момент, когда яхта возвращается в A, совпадает с моментом, когда лодка достигает B. Таким образом, можно записать уравнение:

\[ T_{y} = t_l \]

Подставим выражения для времён:

\[ \frac{D}{25 + V_t} + \frac{D}{25 - V_t} = \frac{D}{7 + V_t} \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Уберем \( D \) из уравнения (предположим, \( D \neq 0 \)):

\[ \frac{1}{25 + V_t} + \frac{1}{25 - V_t} = \frac{1}{7 + V_t} \]

Теперь найдём общий знаменатель для левой части:

\[ \frac{(25 - V_t) + (25 + V_t)}{(25 + V_t)(25 - V_t)} = \frac{50}{625 - V_t^2} \]

Таким образом, уравнение можно записать как:

\[ \frac{50}{625 - V_t^2} = \frac{1}{7 + V_t} \]

Шаг 5: Перекрестное умножение

Теперь сделаем перекрестное умножение:

\[ 50(7 + V_t) = 625 - V_t^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 350 + 50V_t = 625 - V_t^2 \]

Шаг 6: Приведем все к одной стороне уравнения

\( V_t^2 + 50V_t + 350 - 625 = 0 \)

Приведем к стандартному виду:

\[ V_t^2 + 50V_t - 275 = 0 \]

Шаг 7: Найдем значение \( V_t \)

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-275) = 2500 + 1100 = 3600 \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ V_t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-50 \pm 60}{2} \]

Получим два возможных значения:

1. \( V_t = \frac{10}{2} = 5 \) км/ч
2. \( V_t = \frac{-110}{2} = -55 \) км/ч (недопустимо, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ

Скорость течения реки равна \( V_t = 5 \) км/ч.