Для решения задачи будем использовать понятие скорости и времени. Давайте определим необходимые обозначения:
- ( V_y = 25 ) км/ч — собственная скорость яхты;
- ( V_l = 7 ) км/ч — собственная скорость лодки;
- ( V_t ) — скорость течения реки (которую мы ищем);
- ( D ) — расстояние от пристани A до пристани B.
Шаг 1: Определим скорости относительно течения реки
Скорость яхты по течению реки будет равна:
( V_{y,\text{по течению}} = V_y + V_t = 25 + V_t ) км/ч.
Скорость яхты против течения реки (когда она возвращается) будет равна:
( V_{y,\text{против течения}} = V_y - V_t = 25 - V_t ) км/ч.
Скорость лодки по течению реки будет равна:
( V_{l,\text{по течению}} = V_l + V_t = 7 + V_t ) км/ч.
Шаг 2: Найдем время, потраченное на поездку
Время, которое яхта затрачивает на путь от A до B:
( t_y = \frac{D}{V_{y,\text{по течению}}} = \frac{D}{25 + V_t} ).
Время, которое яхта затрачивает на обратный путь от B до A:
( t_y' = \frac{D}{V_{y,\text{против течения}}} = \frac{D}{25 - V_t} ).
Таким образом, общее время, затраченное яхтой на поездку туда и обратно:
[
T_{y} = t_y + t_y' = \frac{D}{25 + V_t} + \frac{D}{25 - V_t}
]
- Время, которое лодка затрачивает на путь от A до B:
( t_l = \frac{D}{V_{l,\text{по течению}}} = \frac{D}{7 + V_t} ).
Шаг 3: Установим соотношение времён
По условию задачи, момент, когда яхта возвращается в A, совпадает с моментом, когда лодка достигает B. Таким образом, можно записать уравнение:
[
T_{y} = t_l
]
Подставим выражения для времён:
[
\frac{D}{25 + V_t} + \frac{D}{25 - V_t} = \frac{D}{7 + V_t}
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Уберем ( D ) из уравнения (предположим, ( D \neq 0 )):
[
\frac{1}{25 + V_t} + \frac{1}{25 - V_t} = \frac{1}{7 + V_t}
]
Теперь найдём общий знаменатель для левой части:
[
\frac{(25 - V_t) + (25 + V_t)}{(25 + V_t)(25 - V_t)} = \frac{50}{625 - V_t^2}
]
Таким образом, уравнение можно записать как:
[
\frac{50}{625 - V_t^2} = \frac{1}{7 + V_t}
]
Шаг 5: Перекрестное умножение
Теперь сделаем перекрестное умножение:
[
50(7 + V_t) = 625 - V_t^2
]
Раскроем скобки:
[
350 + 50V_t = 625 - V_t^2
]
Шаг 6: Приведем все к одной стороне уравнения
( V_t^2 + 50V_t + 350 - 625 = 0 )
Приведем к стандартному виду:
[
V_t^2 + 50V_t - 275 = 0
]
Шаг 7: Найдем значение ( V_t )
Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-275) = 2500 + 1100 = 3600
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
V_t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-50 \pm 60}{2}
]
Получим два возможных значения:
- ( V_t = \frac{10}{2} = 5 ) км/ч
- ( V_t = \frac{-110}{2} = -55 ) км/ч (недопустимо, так как скорость не может быть отрицательной)
Ответ
Скорость течения реки равна ( V_t = 5 ) км/ч.
