Сколькими способами можно выстроить в шеренгу четырёх мальчиков и четырёх девочек так, чтобы среди первых четырёх человек была хотя бы одна девочка?

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем её на несколько шагов. 1. **Общее количество способов выстроить 8 человек:** У нас есть 4 мальчика и 4 девочки. В общей сложности 8 человек. Мы можем переставить этих 8 человек в шеренге. Количество возможных перестановок можно найти по формуле факториала: \[ 8! = 40320 \] 2. **Количество способов выстроить 8 человек так, чтобы среди первых четырёх не было ни одной девочки:** Если первые четыре человека – только мальчики, то мы можем выбрать 4 мальчика из 4 (это единственный способ), а затем разместить первых 4 мальчиков. После этого оставшиеся 4 места займут 4 девочки, которые могут быть расставлены среди оставшихся мест. Количество способов расставить 4 мальчика: \[ 4! = 24 \] Количество способов расставить 4 девочки: \[ 4! = 24 \] Таким образом, число способов, в которых среди первых четырех человек нет девочек: \[ 4! \times 4! = 24 \times 24 = 576 \] 3. **Количество способов, при которых среди первых четырёх человек есть хотя бы одна девочка:** Теперь мы можем воспользоваться принципом дополнения. Если мы знаем общее количество перестановок и количество перестановок, где среди первых четырех нет девочек, то можем найти количество перестановок, где хотя бы одна девочка среди первых четырёх. \[ \text{Количество способов с хотя бы одной девочкой} = \text{Общее количество способов} - \text{Способы без девочек} \] Подставляем наши значения: \[ 40320 - 576 = 39744 \] Таким образом, количество способов выстроить в шеренгу четырёх мальчиков и четырёх девочек так, чтобы среди первых четырёх человек была хотя бы одна девочка, равно **39744**.