Сколькими способами можно выстроить в шеренгу четырёх мальчиков и четырёх девочек так, чтобы среди первых четырёх человек была хотя бы одна девочка?

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем её на несколько шагов.

1. Общее количество способов выстроить 8 человек:
   У нас есть 4 мальчика и 4 девочки. В общей сложности 8 человек. Мы можем переставить этих 8 человек в шеренге. Количество возможных перестановок можно найти по формуле факториала:

   \[ 8! = 40320 \]

2. Количество способов выстроить 8 человек так, чтобы среди первых четырёх не было ни одной девочки:
   Если первые четыре человека – только мальчики, то мы можем выбрать 4 мальчика из 4 (это единственный способ), а затем разместить первых 4 мальчиков.

   После этого оставшиеся 4 места займут 4 девочки, которые могут быть расставлены среди оставшихся мест.

   Количество способов расставить 4 мальчика:

   \[ 4! = 24 \]

   Количество способов расставить 4 девочки:

   \[ 4! = 24 \]

   Таким образом, число способов, в которых среди первых четырех человек нет девочек:

   \[ 4! \times 4! = 24 \times 24 = 576 \]

3. Количество способов, при которых среди первых четырёх человек есть хотя бы одна девочка:
   Теперь мы можем воспользоваться принципом дополнения. Если мы знаем общее количество перестановок и количество перестановок, где среди первых четырех нет девочек, то можем найти количество перестановок, где хотя бы одна девочка среди первых четырёх.

   \[ \text{Количество способов с хотя бы одной девочкой} = \text{Общее количество способов} - \text{Способы без девочек} \]

   Подставляем наши значения:

   \[ 40320 - 576 = 39744 \]

Таким образом, количество способов выстроить в шеренгу четырёх мальчиков и четырёх девочек так, чтобы среди первых четырёх человек была хотя бы одна девочка, равно 39744.