Найди

Для решения задачи, воспользуемся свойствами векторов и косинусом угла между ними.

Дано:

1. \(|\vec{a}| = 1\)
2. \(|\vec{b}| = 2\)
3. Угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(60^\circ\).

Найти: Длину вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\).

Решение:

1. Косинус угла между векторами: \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]

2. Скалярное произведение векторов: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]

3. Формула длины вектора: Длина вектора \(\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}\) вычисляется по формуле: \[ |\vec{c}| = \sqrt{(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})} \]

   \((2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{b})\)

4. Вычисления: \[ 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 4 \times 1 = 4 \] \[ -4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -4 \times 1 = -4 \] \[ (\vec{b} \cdot \vec{b}) = 2^2 = 4 \]

   Подставляем всё обратно: \[ |\vec{c}|^2 = 4 - 4 + 4 = 4 \]

5. Ответ: \[ |\vec{c}| = \sqrt{4} = 2 \]

Таким образом, длина вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\) равна \(2\).