Найди

Для решения задачи, воспользуемся свойствами векторов и косинусом угла между ними. **Дано:** 1. \(|\vec{a}| = 1\) 2. \(|\vec{b}| = 2\) 3. Угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(60^\circ\). **Найти:** Длину вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\). **Решение:** 1. **Косинус угла между векторами:** \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] 2. **Скалярное произведение векторов:** \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] 3. **Формула длины вектора:** Длина вектора \(\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}\) вычисляется по формуле: \[ |\vec{c}| = \sqrt{(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})} \] \((2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{b})\) 4. **Вычисления:** \[ 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 4 \times 1 = 4 \] \[ -4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -4 \times 1 = -4 \] \[ (\vec{b} \cdot \vec{b}) = 2^2 = 4 \] Подставляем всё обратно: \[ |\vec{c}|^2 = 4 - 4 + 4 = 4 \] 5. **Ответ:** \[ |\vec{c}| = \sqrt{4} = 2 \] Таким образом, длина вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\) равна \(2\).