Для решения данной задачи применим распределение Бернулли, так как мы исследуем независимые события с фиксированным числом испытаний. В нашем случае:
- Всего узлов (испытаний) ( n = 10 ).
- Вероятность безотказной работы каждого узла ( p = 0,8 ).
- Вероятность отказа узла ( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 ).
- Нам нужно найти вероятность того, что откажут ровно 4 узла. То есть мы ищем вероятность 4 отказов среди 10 узлов.
Используя формулу для биномиального распределения:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^{n-k} q^{k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент (число сочетаний), который считается по формуле:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
- ( n = 10 ) — общее количество узлов.
- ( k = 4 ) — количество узлов, которые отказали.
Теперь подставим значения в формулу:
- Найдем биномиальный коэффициент:
[
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210
]
- Вычислим вероятность:
Теперь подставим значения в формулу вероятности:
[
P(X = 4) = \binom{10}{4} p^{10-4} q^{4} = 210 \times (0,8)^{6} \times (0,2)^{4}
]
- Вычислим ( (0,8)^{6} ) и ( (0,2)^{4} ):
[
(0,8)^{6} = 0,262144 \quad \text{(приблизительно)}
]
[
(0,2)^{4} = 0,0016
]
- Подставим в формулу:
Теперь подставим сюда найденные значения:
[
P(X = 4) = 210 \times 0,262144 \times 0,0016
]
- Умножим и окончательно подсчитаем:
[
P(X = 4) \approx 210 \times 0,262144 \times 0,0016 \approx 210 \times 0,0004194304 \approx 0,088
]
Таким образом, вероятность того, что за время ( t ) откажут ровно 4 узла, составляет приблизительно ( 0,088 ) или ( 8,8 % ).
