Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения данной задачи применим распределение Бернулли, так как мы исследуем независимые события с фиксированным числом испытаний. В нашем случае:

• Всего узлов (испытаний) \( n = 10 \).
• Вероятность безотказной работы каждого узла \( p = 0,8 \).
• Вероятность отказа узла \( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 \).
• Нам нужно найти вероятность того, что откажут ровно 4 узла. То есть мы ищем вероятность 4 отказов среди 10 узлов.

Используя формулу для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^{n-k} q^{k} \]

где:

• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент (число сочетаний), который считается по формуле:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

• \( n = 10 \) — общее количество узлов.
• \( k = 4 \) — количество узлов, которые отказали.

Теперь подставим значения в формулу:

1. Найдем биномиальный коэффициент:

\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

2. Вычислим вероятность:

Теперь подставим значения в формулу вероятности:

\[ P(X = 4) = \binom{10}{4} p^{10-4} q^{4} = 210 \times (0,8)^{6} \times (0,2)^{4} \]

3. Вычислим \( (0,8)^{6} \) и \( (0,2)^{4} \):

\[ (0,8)^{6} = 0,262144 \quad \text{(приблизительно)} \] \[ (0,2)^{4} = 0,0016 \]

4. Подставим в формулу:

Теперь подставим сюда найденные значения:

\[ P(X = 4) = 210 \times 0,262144 \times 0,0016 \]

5. Умножим и окончательно подсчитаем:

\[ P(X = 4) \approx 210 \times 0,262144 \times 0,0016 \approx 210 \times 0,0004194304 \approx 0,088 \]

Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажут ровно 4 узла, составляет приблизительно \( 0,088 \) или \( 8,8 \% \).