Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, которое как раз дает нам возможность находить вероятности определенного количества успешных или неуспешных случаев в фиксированном количестве испытаний.
Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть 10 узлов, каждый из которых может либо работать (успех), либо выйти из строя (неуспех). Вероятность безотказной работы каждого узла равна ( p = 0,8 ). Следовательно, вероятность выхода узла из строя (неуспеха) будет равна ( q = 1 - p = 0,2 ).
Мы хотим найти вероятность того, что из 10 узлов откажут 4 узла. То есть, мы ищем вероятность того, что 4 узла выйдут из строя, а 6 будут работать.
Шаг 2: Применение формулы биномиального распределения
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k
]
где:
- ( P(X = k) ) — искомая вероятность того, что произойдут ( k ) неуспехов (в нашем случае ( k = 4 )),
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
- ( n ) — общее число узлов (в нашем случае ( n = 10 )),
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае ( p = 0,8 )),
- ( q ) — вероятность неуспеха (в нашем случае ( q = 0,2 )).
Шаг 3: Подставляем значения
Подставим наши значения в формулу:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0,2)^4 \cdot (0,8)^{10-4}
]
Шаг 4: Вычисляем биномиальный коэффициент
Сначала находим ( C(10, 4) ):
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210
]
Шаг 5: Вычисляем вероятность
Теперь подставим все значения в формулу вероятности:
[
P(X = 4) = 210 \cdot (0,2)^4 \cdot (0,8)^6
]
Вычислим ( (0,2)^4 ) и ( (0,8)^6 ):
[
(0,2)^4 = 0,0016
]
[
(0,8)^6 = 0,262144
]
Подставим полученные значения:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0,0016 \cdot 0,262144
]
Вычислим произведение:
[
210 \cdot 0,0016 = 0,336
]
[
0,336 \cdot 0,262144 \approx 0,08779
]
Ответ:
Таким образом, вероятность того, что из 10 узлов откажут 4 узла, составляет примерно 0,08779 или 8,779%.
