Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, которое как раз дает нам возможность находить вероятности определенного количества успешных или неуспешных случаев в фиксированном количестве испытаний.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть 10 узлов, каждый из которых может либо работать (успех), либо выйти из строя (неуспех). Вероятность безотказной работы каждого узла равна \( p = 0,8 \). Следовательно, вероятность выхода узла из строя (неуспеха) будет равна \( q = 1 - p = 0,2 \).

Мы хотим найти вероятность того, что из 10 узлов откажут 4 узла. То есть, мы ищем вероятность того, что 4 узла выйдут из строя, а 6 будут работать.

Шаг 2: Применение формулы биномиального распределения

Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \]

где:

• \( P(X = k) \) — искомая вероятность того, что произойдут \( k \) неуспехов (в нашем случае \( k = 4 \)),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( n \) — общее число узлов (в нашем случае \( n = 10 \)),
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае \( p = 0,8 \)),
• \( q \) — вероятность неуспеха (в нашем случае \( q = 0,2 \)).

Шаг 3: Подставляем значения

Подставим наши значения в формулу:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0,2)^4 \cdot (0,8)^{10-4} \]

Шаг 4: Вычисляем биномиальный коэффициент

Сначала находим \( C(10, 4) \):

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Шаг 5: Вычисляем вероятность

Теперь подставим все значения в формулу вероятности:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot (0,2)^4 \cdot (0,8)^6 \]

Вычислим \( (0,2)^4 \) и \( (0,8)^6 \):

\[ (0,2)^4 = 0,0016 \] \[ (0,8)^6 = 0,262144 \]

Подставим полученные значения:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,0016 \cdot 0,262144 \]

Вычислим произведение:

\[ 210 \cdot 0,0016 = 0,336 \] \[ 0,336 \cdot 0,262144 \approx 0,08779 \]

Ответ:

Таким образом, вероятность того, что из 10 узлов откажут 4 узла, составляет примерно 0,08779 или 8,779%.