Чтобы решить данную задачу, воспользуемся моделью Пуассона, которая описывает количество событий, происходящих в фиксированном времени при известной средней интенсивности событий.
Шаг 1: Определение параметров
В данном случае:
- Среднее количество звонков (λ) в час составляет 340.
Шаг 2: Поиск вероятности события
Нам нужно найти вероятность того, что в течение следующего часа число звонков (X) превысит 510. Это можно записать как:
[ P(X > 510) = 1 - P(X \leq 510) ]
Шаг 3: Применение модели
Согласно модели Пуассона:
[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} ]
где:
- ( e ) — основание натурального логарифма (примерно 2.71828),
- ( \lambda ) — среднее количество событий за рассматриваемый интервал времени,
- ( k ) — количество событий.
Но так как вычислять ( P(X \leq 510) ) и все вероятности от 0 до 510 вручную очень громоздко, используют табличные значения или численные методы. Применим нормальное приближение для более простого вычисления.
Шаг 4: Нормальное приближение
Модель Пуассона при больших λ может быть приближена нормальным распределением с параметрами:
- Среднее (μ) = λ = 340
- Стандартное отклонение (σ) = √λ = √340 ≈ 18.44
Шаг 5: Стандартизация
Теперь мы можем использовать Z-преобразование для нормального распределения:
[ Z = \frac{X - μ}{σ} ]
Мы ищем ( P(X > 510) ), поэтому находим значение Z для X = 510:
[ Z = \frac{510 - 340}{18.44} \approx 9.22 ]
Шаг 6: Проведение расчётов
Теперь нам нужно найти ( P(Z > 9.22) ). Это значение Z значительно больше типичных значений в таблице Z (обычно таблицы показывают значения до 3.5). Вероятность того, что Z превысит 9.22, близка к нулю.
Шаг 7: Заключение
Таким образом, вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 510, крайне мала:
[ P(X > 510) \approx 0 ]
Итак, вероятность, округлённая до сотых, составляет:
Ответ:
0.00
