Номер 2

Давайте разберем задачи по очереди:

Задача 1:

Дано: Дуга \( AB \) равна \( 64^\circ \). Это часть окружности.

Найти: Сумму градусных мер углов \( AOB \) и \( AMB \), где \( O \) - центр окружности.

Решение:

1. Центральный угол \( AOB \): Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, то есть \(\angle AOB = 64^\circ\).

2. Вписанный угол \( AMB \): Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть: \[ \angle AMB = \frac{1}{2} \times 64^\circ = 32^\circ \]

3. Сумма углов \( AOB \) и \( AMB \): \[ 64^\circ + 32^\circ = 96^\circ \]

Ответ: \( 96^\circ \).

Задача 2:

Дано: Луч \( AB \) и \( AC \) касаются окружности с центром \( O \) в точках \( B \) и \( C \). \(\angle BAC = 70^\circ\).

Найти: Угол \( OBC \).

Решение:

1. Свойства касательных: Углы между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равны \( 90^\circ\). Поэтому \(\angle OBC = 90^\circ\) и \(\angle OCB = 90^\circ\).

2. Рассмотрим свойства четырехугольника \( OBCN \), где \( N \) - точка пересечения продолжений \( OB \) и \( OC \):

   Из этой конфигурации видно, что \(\angle BOC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\), так как углы \( \angle BAC \) и углы \( \angle BOC \) дополняют друг друга до 180 градусов в четырехугольнике, который вписан в окружность.

Ответ: \(\angle OBC = 35^\circ\).

Задача 3:

Дано: Из точки \( A \), не лежащей на окружности, проведены касательные \( AB \) и \( AC \). Среди них секущая \( AD \) пересекает окружность в точках \( M \) и \( N \). Известно, что \( \angle BAC = 62^\circ \) и \( \angle NMB = 37^\circ \).

Найти: Градусную меру дуги \( DB \).

Решение:

1. Углы между секущей и касательной: Угол между секущей и касательной \( \angle CAB = 62^\circ \) является внешним по отношению к треугольнику \( ABM \) и равен половине разности дуг: \[ \angle BAC = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{BN} - \overset{\frown}{MN}) \] Подставляем известные значения: \[ 62^\circ = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{BN} - 37^\circ) \]

2. Решаем уравнение: \[ 62^\circ \times 2 = \overset{\frown}{BN} - 37^\circ \] \[ 124^\circ + 37^\circ = \overset{\frown}{BN} \] \[ \overset{\frown}{BN} = 161^\circ \]

Ответ: Дуга \( DB = 161^\circ \).

Если потребуется дополнительное объяснение или помощь с другими задачами, дайте знать!