Седьмой и одиннадцатый члены геометрической прогрессии равны 126 и 3,256 соответственно. Найди сумму членов прогрессии, заключённых между ними.

Давайте решим задачу о геометрической прогрессии, предоставив подробное объяснение каждого шага.

Определение

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии.

Обозначения

• Пусть \( a \) — первый член прогрессии.
• Пусть \( q \) — знаменатель прогрессии.
• Каждый член прогрессии можно выразить формулой: \[ a_n = a \cdot q^{n-1} \] где \( a_n \) — n-й член прогрессии.

Дано

• \( a_7 = 126 \)
• \( a_{11} = 3,256 \)

Подстановка

По формуле для каждого члена прогрессии мы можем записать два уравнения:

1. Для седьмого члена: \[ a \cdot q^{7-1} = 126 \quad \Rightarrow \quad a \cdot q^6 = 126 \quad \text{(1)} \]

2. Для одиннадцатого члена: \[ a \cdot q^{11-1} = 3,256 \quad \Rightarrow \quad a \cdot q^{10} = 3,256 \quad \text{(2)} \]

Деление уравнений

Теперь давайте разделим второе уравнение на первое: \[ \frac{a \cdot q^{10}}{a \cdot q^6} = \frac{3,256}{126} \] Упрощая, получаем: \[ q^4 = \frac{3,256}{126} \]

Вычисление знаменателя

Теперь необходимо вычислить \( \frac{3,256}{126} \):

• \( 3,256 \div 126 \approx 25.8 \)

Находим корень четвёртой степени: \[ q = \sqrt[4]{25.8} \] Это можно сделать как: \[ q \approx 2.5 \]

Находим первый член прогрессии

Теперь подставим значение \( q \) в любое из уравнений, чтобы найти \( a \). Например, используем первое уравнение: \[ a \cdot (2.5)^6 = 126 \] Сначала находим \( (2.5)^6 \): \[ (2.5)^6 = 244.140625 \] Теперь подставим это значение: \[ a \cdot 244.140625 = 126 \quad \Rightarrow \quad a \approx \frac{126}{244.140625} \approx 0.517 \]

Нахождение суммы членов прогрессии

Теперь нам нужно найти сумму членов прогрессии между седьмым и одиннадцатым, то есть \( a_8, a_9, a_{10} \).

Сумма геометрической прогрессии между \( n \)-м и \( m \)-м членами находится по формуле: \[ S = a_n \cdot \frac{q^{m-n+1} - 1}{q-1} \] В нашем случае:

• \( n = 7 \)
• \( m = 11 \)

Сначала найдем \( a_8, a_9, a_{10} \):

• \( a_8 = a \cdot q^7 \)
• \( a_9 = a \cdot q^8 \)
• \( a_{10} = a \cdot q^9 \)

Теперь используем формулу суммы для \( S \): \[ S_{8 \to 10} = a_8 + a_9 + a_{10} = a \cdot q^7 \cdot \frac{q^{3} - 1}{q - 1} \]

Подстановка значений

Теперь подставим все найденные значения и вычислим сумму.

Я надеюсь, что шаги ясные, и решение помогло вам понять процесс нахождения необходимого результата. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!