в треугольнике ABC угол C=60°, угол =90°.Высота B B1=2 см.Найти AB
Давайте решим задачу поэтапно.
Условия задачи:
- В треугольнике ABC угол C равен 60°, а угол B равен 90°.
- Высота из точки B на сторону AC равна 2 см.
- Нужно найти длину стороны AB.
Шаг 1: Определение треугольника
Так как угол B равен 90°, треугольник ABC является прямоугольным. Угол C равен 60°, соответственно угол A будет равен 30° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°).
Шаг 2: Использование свойств треугольника
В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60° и 90° сторона, противоположная углу 30°, в два раза меньше гипотенузы. Таким образом, если обозначить:
- AB = c (гипотенуза),
- BC = a (противоположная сторона к углу C),
- AC = b (противоположная сторона к углу A).
Согласно свойствам 30-60-90 треугольника:
- BC = a,
- AC = b = \( \frac{a \sqrt{3}}{3} \),
- AB = c = \( 2a \).
Шаг 3: Вычисление через высоту
Высота B1 (из точки B на сторону AC) является перпендикуляром к AC и равна 2 см. Высоту в прямоугольном треугольнике можно выразить через площади:
Площадь треугольника ABC также может быть получена двумя способами:
- Как \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \) (через основания и высоту).
- Как \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot B1 \) (через гипотенузу и высоту).
Шаг 4: Выражение площади
Сравнив оба выражения для площади, получаем:
\[ \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 2 \]
Сократив \( \frac{1}{2} \):
\[ AC \cdot BC = AB \]
Подставляем \( BC = a \) и \( AC = b = \frac{a}{\sqrt{3}} \):
\[ \frac{a \cdot a}{\sqrt{3}} = 2a \]
Сокращаем на \( a \) (предполагая, что a ≠ 0):
\[ \frac{a}{\sqrt{3}} = 2 \implies a = 2\sqrt{3} \]
Шаг 5: Найдем AB
Теперь, чтобы найти гипотенузу AB, помним, что \( AB = 2a \):
\[ AB = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]
Ответ
Таким образом, длина стороны AB равна \( 4\sqrt{3} \) см.
Примечание
Порядок действий, использование свойств треугольника и аналогии с высотой помогают понять взаимосвязи между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
