стас выбирает трех значное число найдите вероятность того что оно делится на 48

Чтобы понять, как найти вероятность того, что трицифровое число делится на 48, давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Шаг 1: Определение условий

1. Трехзначные числа: Это числа от 100 до 999.
2. Делимость на 48: Число делится на 48, если оно делится и на 16, и на 3 (так как \(48 = 16 \times 3\)).

Шаг 2: Найдем количество трехзначных чисел, делящихся на 48

Делимость на 16

1. Найдем первый и последний трехзначные числа, делящиеся на 16:

   • Первое: \( 16 \times 7 = 112\) (потому что \(16 \times 6 = 96\) — не трехзначное)
   • Последнее: \( 16 \times 62 = 992\) (потому что \(16 \times 63 = 1008\) — не трехзначное)

2. Теперь найдем все трехзначные числа, которые делятся на 16:

   • Последовательность: \(112, 128, 144, \ldots, 992\).
   • Это арифметическая прогрессия, где:
     • Первый член \(a_1 = 112\)
     • Последний член \(a_n = 992\)
     • Разность \(d = 16\)

Используем формулу n-ного члена арифметической прогрессии: \[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 \] Подставляем в формулу: \[ n = \frac{992 - 112}{16} + 1 = \frac{880}{16} + 1 = 55 + 1 = 56 \]

Шаг 3: Найдем количество трехзначных чисел, делящихся на 3

1. Найдем первый и последний трехзначные числа, делящиеся на 3:

   • Первое: \( 3 \times 34 = 102\)
   • Последнее: \( 3 \times 333 = 999\)

2. Теперь найдем все трехзначные числа, которые делятся на 3:

   • Последовательность: \(102, 105, 108, \ldots, 999\).
   • Это также арифметическая прогрессия, где:
     • Первый член \(a_1 = 102\)
     • Последний член \(a_n = 999\)
     • Разность \(d = 3\)

Используем ту же формулу: \[ n = \frac{999 - 102}{3} + 1 = \frac{897}{3} + 1 = 299 + 1 = 300 \]

Шаг 4: Найдем количество трехзначных чисел, делящихся на 48

1. Сначала найдем, как делятся числа на 48.

   • Первое: \(48 \times 3 = 144\)
   • Последнее: \(48 \times 20 = 960\)

2. Числа: \(144, 192, 240, \ldots, 960\).

   • Это арифметическая прогрессия, где:
     • Первый член \(a_1 = 144\)
     • Последний член \(a_n = 960\)
     • Разность \(d = 48\)

Формула: \[ n = \frac{960 - 144}{48} + 1 = \frac{816}{48} + 1 = 17 + 1 = 18 \]

Шаг 5: Найдем общую вероятность

1. Общее количество трехзначных чисел:

   • Трехзначные числа от 100 до 999. Их: \[ 999 - 100 + 1 = 900 \]

2. Теперь находим вероятность:

   • Числа, делящиеся на 48 = 18
   • Общие трехзначные числа = 900

Вероятность \(P\): \[ P = \frac{18}{900} = \frac{1}{50} \]

Ответ

Вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число делится на 48, равна \(\frac{1}{50}\).