Реши уравнение

Для решения этих неравенств рассмотрим их подробнее. Начнем с каждого пункта по очереди:

а) \((x + 2)(x - 7)(x - 10) > 0\)

Рассмотрим произведение. Нужно определить, при каких значениях \(x\) выражение будет положительным.

1. Найдем корни:

   • \(x + 2 = 0 \implies x = -2\)
   • \(x - 7 = 0 \implies x = 7\)
   • \(x - 10 = 0 \implies x = 10\)

2. Разделим ось на интервалы:

   • \((-\infty, -2)\)
   • \((-2, 7)\)
   • \((7, 10)\)
   • \((10, \infty)\)

3. Исследуем знаки в каждом интервале:

   • \((-\infty, -2)\): все скобки отрицательные, произведение отрицательное.
   • \((-2, 7)\): \(x + 2\) положительно, остальные отрицательные, произведение положительное.
   • \((7, 10)\): \(x + 2\) и \(x - 7\) положительные, \(x - 10\) отрицательное, произведение отрицательное.
   • \((10, \infty)\): все скобки положительные, произведение положительное.

4. Ответ: \(x \in (-2, 7) \cup (10, \infty)\).

б) \((3x + 7)(x + 6)(x - 5) < 0\)

1. Найдем корни:

   • \(3x + 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{3}\)
   • \(x + 6 = 0 \implies x = -6\)
   • \(x - 5 = 0 \implies x = 5\)

2. Разделим ось на интервалы:

   • \((-\infty, -6)\)
   • \((-6, -\frac{7}{3})\)
   • \((- \frac{7}{3}, 5)\)
   • \((5, \infty)\)

3. Исследуем знаки в каждом интервале:

   • \((-\infty, -6)\): все скобки отрицательные, произведение отрицательное.
   • \((-6, -\frac{7}{3})\): одна скобка положительная, произведение положительное.
   • \((- \frac{7}{3}, 5)\): две скобки положительные, произведение отрицательное.
   • \((5, \infty)\): все скобки положительные, произведение положительное.

4. Ответ: \(x \in (-\infty, -6) \cup (-\frac{7}{3}, 5)\).

в) \(x(2x - 15)(x - 8) \geq 0\)

1. Найдем корни:

   • \(x = 0\)
   • \(2x - 15 = 0 \implies x = \frac{15}{2}\)
   • \(x - 8 = 0 \implies x = 8\)

2. Разделим ось на интервалы:

   • \((-\infty, 0)\)
   • \( (0, \frac{15}{2}) \)
   • \(\left(\frac{15}{2}, 8\right)\)
   • \((8, \infty)\)

3. Исследуем знаки в каждом интервале:

   • \((-\infty, 0)\): все скобки отрицательные, произведение отрицательное.
   • \( (0, \frac{15}{2}) \): одна скобка отрицательная, произведение положительное.
   • \(\left(\frac{15}{2}, 8\right)\): одна скобка отрицательная, произведение отрицательное.
   • \((8, \infty)\): все скобки положительные, произведение положительное.

4. Ответ: \(x \in [0, \frac{15}{2}] \cup (8, \infty)\).

г) \(3x(4x + 7)(3x - 2) < 0\)

1. Найдем корни:

   • \(x = 0\)
   • \(4x + 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{4}\)
   • \(3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}\)

2. Разделим ось на интервалы:

   • \((-\infty, -\frac{7}{4})\)
   • \((- \frac{7}{4}, 0)\)
   • \((0, \frac{2}{3})\)
   • \((\frac{2}{3}, \infty)\)

3. Исследуем знаки в каждом интервале:

   • \((-\infty, -\frac{7}{4})\): все скобки отрицательные, произведение отрицательное.
   • \((- \frac{7}{4}, 0)\): одна скобка положительная, произведение положительное.
   • \((0, \frac{2}{3})\): одна скобка отрицательная, произведение отрицательное.
   • \((\frac{2}{3}, \infty)\): все скобки положительные, произведение положительное.

4. Ответ: \(x \in (-\frac{7}{4}, 0) \cup (0, \frac{2}{3})\).

Надеюсь, это поможет вам понять, как решать такие неравенства!