Решите

Для решения задачи нам нужно найти значения \(\cos \alpha\), \(\tan \alpha\) и \(\cot \alpha\), зная, что \(\sin \alpha = -\frac{2}{5}\) и \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\).

Шаг 1: Найти \(\cos \alpha\)

Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставляем \(\sin \alpha = -\frac{2}{5}\): \[ \left(-\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{4}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \] \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5} \]

Учитывая, что \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), угол находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Поэтому: \[ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5} \]

Шаг 2: Найти \(\tan \alpha\)

\(\tan \alpha\) находим как отношение \(\sin \alpha\) к \(\cos \alpha\): \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{21}\) для избавления от иррациональности в знаменателе: \[ \tan \alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21} \]

Шаг 3: Найти \(\cot \alpha\)

\(\cot \alpha\) — это обратное значение \(\tan \alpha\): \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{\sqrt{21}}{2} \]

Итоговые ответы:

• \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5}\)
• \(\tan \alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21}\)
• \(\cot \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}\)