Вероятность всхожести семян пшеницы 0,9. Какова вероятность того, что из четырёх посеянных семян взойдут не менее трёх?

Давайте решим задачу о вероятности всхожести семян пшеницы шаг за шагом.

Мы знаем, что вероятность всхожести одного семени \( p = 0.9 \). Это значит, что для одного семени вероятность того, что оно не взойдет, равна \( 1 - p = 0.1 \).

Поскольку мы работаем с несколькими семенами, нам нужно использовать биномиальное распределение, так как это вероятностная модель для ситуаций, где у нас есть фиксированное количество испытаний (в данном случае – 4 семени), каждое из которых может привести к одному из двух исходов (взошло или не взошло).

В задаче нам нужно найти вероятность того, что из четырех семян взойдут не менее трех. Это означает, что нас интересуют два случая:

1. 3 семени взойдут.
2. 4 семени взойдут.

Формула биномиального распределения

Вероятность того, что в \( n \) испытаниях \( k \) из них дадут успех (взошедшее семя), вычисляется по формуле: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] где:

• \( \binom{n}{k} \) – биномиальный коэффициент (число сочетаний), который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( p \) – вероятность успеха,
• \( 1-p \) – вероятность неудачи.

Шаг 1: Вычисление вероятности, что взойдут 3 семени

Для случая, когда взошло 3 семени (\( k = 3 \)): \[ P(X = 3) = \binom{4}{3} (0.9)^3 (0.1)^{4-3} \] Сначала вычислим биномиальный коэффициент: \[ \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4 \] Теперь подставим значения: \[ P(X = 3) = 4 \times (0.9)^3 \times (0.1)^1 \] \[ = 4 \times 0.729 \times 0.1 = 4 \times 0.0729 = 0.2916 \]

Шаг 2: Вычисление вероятности, что взойдут 4 семени

Для случая, когда взошло 4 семени (\( k = 4 \)): \[ P(X = 4) = \binom{4}{4} (0.9)^4 (0.1)^{0} \] Сначала вычислим биномиальный коэффициент: \[ \binom{4}{4} = 1 \] Теперь подставим значения: \[ P(X = 4) = 1 \times (0.9)^4 \times (0.1)^0 \] \[ = 1 \times 0.6561 \times 1 = 0.6561 \]

Шаг 3: Вычисление полной вероятности

Теперь, чтобы найти полную вероятность того, что взойдут не менее 3 семени, мы сложим найденные вероятности: \[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) \] \[ = 0.2916 + 0.6561 = 0.9477 \]

Ответ

Вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех, составляет примерно \( 0.9477 \) или \( 94.77\% \).