Давайте решим предложенные задачи одну за другой, предоставляя подробные объяснения.
1) sin 3x = 1
Для того чтобы решить это уравнение, мы знаем, что синус достигает значения 1 при угле ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число.
Шаги решения:
- Установим равенство: ( 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi )
- Решим относительно ( x ):
[
x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}
]
2) cos²x – 9 cos x + 8 = 0
Это квадратное уравнение относительно ( \cos x ).
Шаги решения:
- Обозначим ( y = \cos x ). Получаем ( y^2 - 9y + 8 = 0 ).
- Находим дискриминант:
[
D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49
]
- Найдем корни уравнения:
[
y_1 = \frac{9 + 7}{2} = 8, \quad y_2 = \frac{9 - 7}{2} = 1
]
- Проверим, возможны ли эти значения (так как ( \cos x ) должен быть в диапазоне от -1 до 1). Следовательно, только ( \cos x = 1 ):
[
x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
3) 2 cos²x + 3 sin x = 0
Заменим ( \cos²x ) через ( \sin²x ):
- Используем ( \cos²x = 1 - \sin²x ):
[
2(1 - \sin²x) + 3 \sin x = 0
]
[
2 - 2 \sin²x + 3 \sin x = 0
]
[
-2 \sin²x + 3 \sin x + 2 = 0
]
Шаги решения:
- Умножим на -1 для удобства:
[
2 \sin²x - 3 \sin x - 2 = 0
]
- Находим корни через дискриминант и метод замены, как в предыдущем пункте.
4) sin 2x = -1
Синус достигает значения -1 при угле ( \frac{3\pi}{2} + 2k\pi ).
Шаги решения:
- Установим равенство: ( 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi )
- Решим относительно ( x ):
[
x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
5) tg x + 3ctg x = 4
Запишем ( \cot x ) как ( \frac{1}{\tan x} ):
- Упрощаем уравнение:
[
tg x + \frac{3}{tg x} = 4
]
- Умножим обе части на ( \tan x ) и преобразуем его в квадратное уравнение.
6) ctg( + ) =
Для решения данной задачи необходимо указать более конкретное выражение.
7) sin x - cos x = 0
Решим уравнение:
- Перепишем:
[
\sin x = \cos x \implies \tan x = 1
]
- Значит:
[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
8) 2 cos 3x + 4 sin x = 7
Необходимо решить уравнение, связав функции.
9) (ctg x – 1)(2sin x + 1) = 0
Разбиваем на два уравнения:
- ( \cot x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi )
- ( 2 \sin x + 1 = 0 \rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} )
10) 6 sin 2x + 4 sin x cos x = 1
Применяя двойные углы и упрощая уравнения, приведём к стандартному виду.
11) sin 2x – sin x = 0
Используем формулу ( \sin 2x = 2 \sin x \cos x ) и решим уравнение.
12) cos x + sin x = 2
Проверяем корни: максимальные значения.
Заключение
Для получения подробных решений и более глубокого понимания каждого уравнения, пожалуйста, пройдите по каждому пункту отдельно. Если у вас возникнут сложности, задайте дополнительные вопросы.
