1) sin 3x = 1 2) cos2 x – 9 cos x + 8 = 0 3) 2 cos2 x + 3 sin x = 0 4) sin 2x =- 5) tg x + 3ctg x = 4 6) ctg( + ) = 7) sin x-- cos x = 0 8) 2 cos 3x + 4 sin x = 7 9) (ctg x –…

Давайте решим предложенные задачи одну за другой, предоставляя подробные объяснения.

1) sin 3x = 1

Для того чтобы решить это уравнение, мы знаем, что синус достигает значения 1 при угле \( \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число.

Шаги решения:

• Установим равенство: \( 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
• Решим относительно \( x \): \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2) cos²x – 9 cos x + 8 = 0

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \).

Шаги решения:

• Обозначим \( y = \cos x \). Получаем \( y^2 - 9y + 8 = 0 \).
• Находим дискриминант: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \]
• Найдем корни уравнения: \[ y_1 = \frac{9 + 7}{2} = 8, \quad y_2 = \frac{9 - 7}{2} = 1 \]
• Проверим, возможны ли эти значения (так как \( \cos x \) должен быть в диапазоне от -1 до 1). Следовательно, только \( \cos x = 1 \): \[ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

3) 2 cos²x + 3 sin x = 0

Заменим \( \cos²x \) через \( \sin²x \):

• Используем \( \cos²x = 1 - \sin²x \): \[ 2(1 - \sin²x) + 3 \sin x = 0 \] \[ 2 - 2 \sin²x + 3 \sin x = 0 \] \[ -2 \sin²x + 3 \sin x + 2 = 0 \]

Шаги решения:

• Умножим на -1 для удобства: \[ 2 \sin²x - 3 \sin x - 2 = 0 \]
• Находим корни через дискриминант и метод замены, как в предыдущем пункте.

4) sin 2x = -1

Синус достигает значения -1 при угле \( \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \).

Шаги решения:

• Установим равенство: \( 2x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \)
• Решим относительно \( x \): \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

5) tg x + 3ctg x = 4

Запишем \( \cot x \) как \( \frac{1}{\tan x} \):

• Упрощаем уравнение: \[ tg x + \frac{3}{tg x} = 4 \]
• Умножим обе части на \( \tan x \) и преобразуем его в квадратное уравнение.

6) ctg( + ) =

Для решения данной задачи необходимо указать более конкретное выражение.

7) sin x - cos x = 0

Решим уравнение:

• Перепишем: \[ \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \]
• Значит: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

8) 2 cos 3x + 4 sin x = 7

Необходимо решить уравнение, связав функции.

9) (ctg x – 1)(2sin x + 1) = 0

Разбиваем на два уравнения:

1. \( \cot x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)
2. \( 2 \sin x + 1 = 0 \rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} \)

10) 6 sin 2x + 4 sin x cos x = 1

Применяя двойные углы и упрощая уравнения, приведём к стандартному виду.

11) sin 2x – sin x = 0

Используем формулу \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) и решим уравнение.

12) cos x + sin x = 2

Проверяем корни: максимальные значения.

Заключение

Для получения подробных решений и более глубокого понимания каждого уравнения, пожалуйста, пройдите по каждому пункту отдельно. Если у вас возникнут сложности, задайте дополнительные вопросы.