из точки A(-1;3) проведена касательная к окружности (x-1)2+(y+3)2=4
Для того чтобы понять задачу, давайте рассмотрим все ее составные части шаг за шагом.
Условия задачи:
- У нас есть окружность, заданная уравнением \((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4\).
- Это уравнение описывает окружность с центром в точке \(C(1, -3)\) и радиусом \(r = \sqrt{4} = 2\).
- Также задана точка \(A(-1; 3)\), из которой проведена касательная к окружности.
Понимание касательной линии:
- Касательная к окружности — это прямая, которая касается окружности в одной точке.
- Чтобы найти уравнение этой касательной, нужно определить точку касания и направление касательной.
Находим расстояние от точки A до центра окружности C: Расстояние \(d\) между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(C(x_2, y_2)\) вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставляем координаты точек A и C: \[ d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]
Определяем, попадает ли точка A внутрь окружности:
- Мы знаем, что радиус окружности равен \(2\). Поскольку \(2\sqrt{10} \approx 6.32 > 2\), точка \(A\) находится вне окружности. Это условие необходимо для того, чтобы можно было провести касательную.
Согласно свойству касательных: Если мы проведем касательную к окружности из точки \(A\), мы можем использовать вектор от центра окружности к точке \(A\), чтобы определить направление касательной.
Находим угол наклона:
- Вектор от \(C(1, -3)\) до \(A(-1, 3)\) можно записать как: \[ \vec{CA} = (-1 - 1, 3 + 3) = (-2, 6) \]
- Нормаль к касательной, идущей из точки A, будет направлена в ту же сторону, что и вектор \(\vec{CA}\), но поскольку нужна касательная, то мы посмотрим на её перпендикулярный вектор. Если вектор \(\vec{CA} = (-2, 6)\), то перпендикулярный вектор будет пропорционален вектору \((6, 2)\).
Уравнение касательной:
- Используя точку A и наклон \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), уравнение будет составлено таким образом: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \] Подставляем \(A(-1, 3)\) и \(k = \frac{1}{3}\): \[ y - 3 = \frac{1}{3}(x + 1) \] Упрощаем: \[ y - 3 = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{10}{3} \]
Таким образом, уравнение касательной к окружности из точки \(A(-1, 3)\) будет: \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{10}{3} \]
Теперь вы можете понять, как мы нашли касательную линию и какие шаги были необходимы для достижения результата. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!
