Решите уравнение х (х2+ 10х + 25) = 6(х + 5).

Чтобы решить уравнение \( x \cdot (x^2 + 10x + 25) = 6(x + 5) \), давайте последовательно разберёмся с каждой частью. **Шаг 1: Упростим уравнение.** Раскроем скобки с обеих сторон: Слева: - У нас есть \( x \cdot (x^2 + 10x + 25) \). Это можно записать как: \[ x^3 + 10x^2 + 25x \] Справа: - Раскроем скобки в \( 6(x + 5) \): \[ 6(x + 5) = 6x + 30 \] Теперь мы имеем уравнение: \[ x^3 + 10x^2 + 25x = 6x + 30 \] **Шаг 2: Переносим все термины на одну сторону.** Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения: \[ x^3 + 10x^2 + 25x - 6x - 30 = 0 \] Соберем подобные члены: \[ x^3 + 10x^2 + 19x - 30 = 0 \] **Шаг 3: Попробуем найти корни уравнения.** Теперь нам нужно найти корни кубического уравнения \( x^3 + 10x^2 + 19x - 30 = 0 \). Один из способов — попробовать пользоваться методом подбора, т.е. подставить различные значения \( x \): - Попробуем \( x = 1 \): \[ 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 19 \cdot 1 - 30 = 1 + 10 + 19 - 30 = 0 \] Значит, \( x = 1 \) — это корень уравнения. **Шаг 4: Разделим многочлен на \( (x - 1) \).** Теперь, когда мы нашли один корень, можно воспользоваться делением многочлена для нахождения остальных корней. Разделим \( x^3 + 10x^2 + 19x - 30 \) на \( (x - 1) \) с помощью деления многочленов или синтетического деления: Результатом будет: \[ x^2 + 11x + 30 \] Теперь наше уравнение сведётся к: \[ (x - 1)(x^2 + 11x + 30) = 0 \] **Шаг 5: Решим квадратное уравнение.** Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 11x + 30 = 0 \). Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1 \] Так как дискриминант больше нуля, у нас два различных корня: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm 1}{2} \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-11 + 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] \[ x_2 = \frac{-11 - 1}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \] **Шаг 6: Подытожим.** Полученные корни нашего уравнения: - \( x_1 = 1 \) - \( x_2 = -5 \) - \( x_3 = -6 \) Таким образом, все корни уравнения \( x \cdot (x^2 + 10x + 25) = 6(x + 5) \): \[ x = 1, \, x = -5, \, x = -6. \]