Решите уравнение х (х2+ 10х + 25) = 6(х + 5).
Чтобы решить уравнение \( x \cdot (x^2 + 10x + 25) = 6(x + 5) \), давайте последовательно разберёмся с каждой частью.
Шаг 1: Упростим уравнение.
Раскроем скобки с обеих сторон:
Слева:
- У нас есть \( x \cdot (x^2 + 10x + 25) \). Это можно записать как: \[ x^3 + 10x^2 + 25x \]
Справа:
- Раскроем скобки в \( 6(x + 5) \): \[ 6(x + 5) = 6x + 30 \]
Теперь мы имеем уравнение: \[ x^3 + 10x^2 + 25x = 6x + 30 \]
Шаг 2: Переносим все термины на одну сторону.
Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения: \[ x^3 + 10x^2 + 25x - 6x - 30 = 0 \]
Соберем подобные члены: \[ x^3 + 10x^2 + 19x - 30 = 0 \]
Шаг 3: Попробуем найти корни уравнения.
Теперь нам нужно найти корни кубического уравнения \( x^3 + 10x^2 + 19x - 30 = 0 \).
Один из способов — попробовать пользоваться методом подбора, т.е. подставить различные значения \( x \):
- Попробуем \( x = 1 \): \[ 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 19 \cdot 1 - 30 = 1 + 10 + 19 - 30 = 0 \] Значит, \( x = 1 \) — это корень уравнения.
Шаг 4: Разделим многочлен на \( (x - 1) \).
Теперь, когда мы нашли один корень, можно воспользоваться делением многочлена для нахождения остальных корней. Разделим \( x^3 + 10x^2 + 19x - 30 \) на \( (x - 1) \) с помощью деления многочленов или синтетического деления:
Результатом будет: \[ x^2 + 11x + 30 \]
Теперь наше уравнение сведётся к: \[ (x - 1)(x^2 + 11x + 30) = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение.
Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 11x + 30 = 0 \).
Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1 \]
Так как дискриминант больше нуля, у нас два различных корня: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm 1}{2} \]
Находим корни: \[ x_1 = \frac{-11 + 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] \[ x_2 = \frac{-11 - 1}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]
Шаг 6: Подытожим.
Полученные корни нашего уравнения:
- \( x_1 = 1 \)
- \( x_2 = -5 \)
- \( x_3 = -6 \)
Таким образом, все корни уравнения \( x \cdot (x^2 + 10x + 25) = 6(x + 5) \): \[ x = 1, \, x = -5, \, x = -6. \]
