Треугольнике одна из сторон равна  5 ⋅ √2 другая сторона равна  7 7, а угол между ними равен  4 5 ∘ . Найди площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника, когда известны два стороны и угол между ними, можно воспользоваться формулой: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \] где: - \( a \) и \( b \) — длины сторон, - \( C \) — угол между этими сторонами. В данной задаче: - одна сторона \( a = 5\sqrt{2} \), - другая сторона \( b = 7 \), - угол \( C = 45^\circ \). Теперь мы можем подставить значения в формулу для площади: 1. **Найдем синус угла \( 45^\circ \)**: \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 2. **Подставим все известные значения в формулу**: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \sin(45^\circ) \] 3. **Теперь подставим значение синуса**: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] 4. **Упростим выражение**: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{2}{2} \] На данном этапе заметим, что: \[ \frac{2}{2} = 1 \] поэтому \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 = \frac{35}{2} = 17.5 \] 5. **Таким образом, площадь \( S \) треугольника составляет**: \[ S = 17.5 \] Итак, площадь треугольника равна **17.5** квадратных единиц.