Треугольнике одна из сторон равна 5 ⋅ √2 другая сторона равна 7 7, а угол между ними равен 4 5 ∘ . Найди площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника, когда известны два стороны и угол между ними, можно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]

где:

• \( a \) и \( b \) — длины сторон,
• \( C \) — угол между этими сторонами.

В данной задаче:

• одна сторона \( a = 5\sqrt{2} \),
• другая сторона \( b = 7 \),
• угол \( C = 45^\circ \).

Теперь мы можем подставить значения в формулу для площади:

1. Найдем синус угла \( 45^\circ \): \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Подставим все известные значения в формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \sin(45^\circ) \]

3. Теперь подставим значение синуса: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

4. Упростим выражение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{2}{2} \]

На данном этапе заметим, что: \[ \frac{2}{2} = 1 \] поэтому \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 = \frac{35}{2} = 17.5 \]

5. Таким образом, площадь \( S \) треугольника составляет: \[ S = 17.5 \]

Итак, площадь треугольника равна 17.5 квадратных единиц.