Для решения задачи найдем вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника ABCD окажется в треугольнике LMN. Для этого будем следовать пошаговому объяснению.
Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть прямоугольник ABCD, и обозначим его стороны:
- AB и CD — верхняя и нижняя стороны,
- AD и BC — левая и правая стороны.
Точки K, L, M, N — середины сторон:
- K — середина стороны AB,
- L — середина стороны BC,
- M — середина стороны CD,
- N — середина стороны AD.
Таким образом, треугольник LMN образован из этих точек.
Шаг 2: Определение координат точек
Предположим, что:
- A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).
Тогда координаты средних точек:
- K(а/2, 0),
- L(a, b/2),
- M(а/2, b),
- N(0, b/2).
Шаг 3: Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника ABCD равна:
[
S_{rectangle} = a \cdot b.
]
Шаг 4: Площадь треугольника LMN
Для нахождения площади треугольника LMN, используем формулу площади треугольника через координаты его вершин. Для треугольника с вершинами в точках L(a, b/2), M(a/2, b), N(0, b/2) площадь вычисляется по формуле:
[
S_{triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|,
]
где ( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) ) — координаты вершин треугольника.
Подставим координаты:
- ( (x_1, y_1) = (a, b/2) )
- ( (x_2, y_2) = (a/2, b) )
- ( (x_3, y_3) = (0, b/2) )
Теперь рассчитаем:
[
S_{triangle} = \frac{1}{2} \left| a\left(b/2 - b/2\right) + \frac{a}{2}\left(b/2 - b\right) + 0\left(b - b/2\right) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{a}{2}\left(-\frac{b}{2}\right) + 0 \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}.
]
Шаг 5: Вероятность выбора точки в треугольнике LMN
Вероятность P того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника окажется в треугольнике LMN, равна отношению площади треугольника к площади прямоугольника:
[
P = \frac{S_{triangle}}{S_{rectangle}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8}.
]
Ответ
Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, составляет ( \frac{1}{8} ) или 12.5%.
