На рисунке изображён прямоугольник ABCD . Точки K, L , M, N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать…

Для решения задачи найдем вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника ABCD окажется в треугольнике LMN. Для этого будем следовать пошаговому объяснению.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть прямоугольник ABCD, и обозначим его стороны:

• AB и CD — верхняя и нижняя стороны,
• AD и BC — левая и правая стороны.

Точки K, L, M, N — середины сторон:

• K — середина стороны AB,
• L — середина стороны BC,
• M — середина стороны CD,
• N — середина стороны AD.

Таким образом, треугольник LMN образован из этих точек.

Шаг 2: Определение координат точек

Предположим, что:

• A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).

Тогда координаты средних точек:

• K(а/2, 0),
• L(a, b/2),
• M(а/2, b),
• N(0, b/2).

Шаг 3: Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника ABCD равна: \[ S_{rectangle} = a \cdot b. \]

Шаг 4: Площадь треугольника LMN

Для нахождения площади треугольника LMN, используем формулу площади треугольника через координаты его вершин. Для треугольника с вершинами в точках L(a, b/2), M(a/2, b), N(0, b/2) площадь вычисляется по формуле: \[ S_{triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|, \] где \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \) — координаты вершин треугольника.

Подставим координаты:

• \( (x_1, y_1) = (a, b/2) \)
• \( (x_2, y_2) = (a/2, b) \)
• \( (x_3, y_3) = (0, b/2) \)

Теперь рассчитаем: \[ S_{triangle} = \frac{1}{2} \left| a\left(b/2 - b/2\right) + \frac{a}{2}\left(b/2 - b\right) + 0\left(b - b/2\right) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{a}{2}\left(-\frac{b}{2}\right) + 0 \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}. \]

Шаг 5: Вероятность выбора точки в треугольнике LMN

Вероятность P того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника окажется в треугольнике LMN, равна отношению площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{triangle}}{S_{rectangle}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8}. \]

Ответ

Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, составляет \( \frac{1}{8} \) или 12.5%.