Для решения данной задачи мы можем использовать второй закон Ньютона и уравнение, описывающее движение объекта с учётом сопротивления среды.
Условие задачи:
- Начальная скорость лодки ( v_0 = 10 ) км/ч.
- Отрицательное ускорение (сопротивление воды) пропорционально скорости.
Шаг 1: Определение отрицательного ускорения
Сопротивление воды можно записать как:
[
a = -k \cdot v,
]
где ( k ) — некоторый коэффициент пропорциональности, а ( v ) — скорость лодки.
Шаг 2: Запись уравнения движения
По второму закону Ньютона:
[
F = m \cdot a,
]
где ( F ) — сила, ( m ) — масса лодки, ( a ) — ускорение.
В нашем случае:
[
m \cdot a = -k \cdot v.
]
То есть:
[
m \cdot \frac{dv}{dt} = -k \cdot v.
]
Шаг 3: Переписываем уравнение
Сделаем так, чтобы все переменные были на одной стороне:
[
\frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m} \cdot v.
]
Обозначим ( \lambda = \frac{k}{m} ) (постоянная).
Уравнение теперь выглядит так:
[
\frac{dv}{dt} = -\lambda v.
]
Шаг 4: Решение дифференциального уравнения
Это уравнение имеет вид:
[
\frac{1}{v} dv = -\lambda dt.
]
Теперь интегрируем обе части:
[
\int \frac{1}{v} dv = -\lambda \int dt.
]
Результаты интеграции:
[
\ln |v| = -\lambda t + C,
]
где ( C ) — константа интегрирования.
Шаг 5: Решение для скорости
Теперь удобно выразим ( v ):
[
|v| = e^{-\lambda t + C} = e^C e^{-\lambda t}.
]
Обозначим ( C_1 = e^C ), получаем:
[
v(t) = C_1 e^{-\lambda t}.
]
Шаг 6: Найдем константу ( C_1 )
Используем начальное условие ( v(0) = 10 ) км/ч:
[
v(0) = C_1 e^{-\lambda \cdot 0} = C_1 = 10.
]
Шаг 7: Конечный закон движения
Итак, у нас есть:
[
v(t) = 10 e^{-\lambda t}.
]
Это выражение показывает, как скорость лодки убывает со временем под действием сопротивления воды.
Вывод
Закон движения лодки:
[
v(t) = 10 e^{-\lambda t},
]
где ( \lambda = \frac{k}{m} ) — соотношение постоянной сопротивления к массе лодки. Это уравнение показывает, что скорость лодки экспоненциально уменьшается со временем после отключения мотора.
