Задача 4. У моторного судна при скорости 10 км/ч отключается мотор. Отрицательное ускорение, сообщаемое лодке сопротивлением воды, пропорционально скорости. Найти закон движения…

Для решения данной задачи мы можем использовать второй закон Ньютона и уравнение, описывающее движение объекта с учётом сопротивления среды.

Условие задачи:

• Начальная скорость лодки \( v_0 = 10 \) км/ч.
• Отрицательное ускорение (сопротивление воды) пропорционально скорости.

Шаг 1: Определение отрицательного ускорения

Сопротивление воды можно записать как: \[ a = -k \cdot v, \] где \( k \) — некоторый коэффициент пропорциональности, а \( v \) — скорость лодки.

Шаг 2: Запись уравнения движения

По второму закону Ньютона: \[ F = m \cdot a, \] где \( F \) — сила, \( m \) — масса лодки, \( a \) — ускорение.

В нашем случае: \[ m \cdot a = -k \cdot v. \] То есть: \[ m \cdot \frac{dv}{dt} = -k \cdot v. \]

Шаг 3: Переписываем уравнение

Сделаем так, чтобы все переменные были на одной стороне: \[ \frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m} \cdot v. \] Обозначим \( \lambda = \frac{k}{m} \) (постоянная).

Уравнение теперь выглядит так: \[ \frac{dv}{dt} = -\lambda v. \]

Шаг 4: Решение дифференциального уравнения

Это уравнение имеет вид: \[ \frac{1}{v} dv = -\lambda dt. \] Теперь интегрируем обе части: \[ \int \frac{1}{v} dv = -\lambda \int dt. \] Результаты интеграции: \[ \ln |v| = -\lambda t + C, \] где \( C \) — константа интегрирования.

Шаг 5: Решение для скорости

Теперь удобно выразим \( v \): \[ |v| = e^{-\lambda t + C} = e^C e^{-\lambda t}. \] Обозначим \( C_1 = e^C \), получаем: \[ v(t) = C_1 e^{-\lambda t}. \]

Шаг 6: Найдем константу \( C_1 \)

Используем начальное условие \( v(0) = 10 \) км/ч: \[ v(0) = C_1 e^{-\lambda \cdot 0} = C_1 = 10. \]

Шаг 7: Конечный закон движения

Итак, у нас есть: \[ v(t) = 10 e^{-\lambda t}. \] Это выражение показывает, как скорость лодки убывает со временем под действием сопротивления воды.

Вывод

Закон движения лодки: \[ v(t) = 10 e^{-\lambda t}, \] где \( \lambda = \frac{k}{m} \) — соотношение постоянной сопротивления к массе лодки. Это уравнение показывает, что скорость лодки экспоненциально уменьшается со временем после отключения мотора.