Для того чтобы найти угол между вектором ( \overline{OM} ) и положительной полуосью ( X ), нам нужно использовать координаты точки ( M ), которые даны в задаче. Точка ( M ) имеет координаты ( (-3\sqrt{3}, 9) ).
Шаг 1: Определение координат
- Координаты точки ( M ): ( x = -3\sqrt{3} ), ( y = 9 ).
- Начало координат (точка ( O )): ( (0, 0) ).
Шаг 2: Нахождение координат вектора ( \overline{OM} )
Вектор ( \overline{OM} ) можно выразить через координаты точек ( O ) и ( M ):
[
\overline{OM} = (x_M - x_O, y_M - y_O) = (-3\sqrt{3} - 0, 9 - 0) = (-3\sqrt{3}, 9)
]
Шаг 3: Нахождение угла
Угол ( \theta ) между вектором ( \overline{OM} ) и положительной полуосью ( X ) можно найти, используя тангенс угла:
[
\tan(\theta) = \frac{y}{x}
]
Подставим значение ( y = 9 ) и ( x = -3\sqrt{3} ).
[
\tan(\theta) = \frac{9}{-3\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}
]
Шаг 4: Определение угла
Теперь нам нужно найти угол ( \theta ), которому соответствует тангенс ( -\sqrt{3} ). Известно, что:
[
\tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \quad \text{и} \quad \tan(300^\circ) = -\sqrt{3}
]
Поскольку ( y ) положительное, а ( x ) отрицательное, мы можем заключить, что точка ( M ) находится во втором квадранте. Таким образом, угол ( \theta ) будет равен ( 120^\circ ) (поскольку это второй квадрант).
Ответ:
Угол между вектором ( \overline{OM} ) и положительной полуосью ( X ) равен ( 120^\circ ).
