Точка М имеет координаты (-3√3 ; 9). Найти угол между ОМ и положительной полуосью Х.

Для того чтобы найти угол между вектором \( \overline{OM} \) и положительной полуосью \( X \), нам нужно использовать координаты точки \( M \), которые даны в задаче. Точка \( M \) имеет координаты \( (-3\sqrt{3}, 9) \).

Шаг 1: Определение координат

• Координаты точки \( M \): \( x = -3\sqrt{3} \), \( y = 9 \).
• Начало координат (точка \( O \)): \( (0, 0) \).

Шаг 2: Нахождение координат вектора \( \overline{OM} \)

Вектор \( \overline{OM} \) можно выразить через координаты точек \( O \) и \( M \): \[ \overline{OM} = (x_M - x_O, y_M - y_O) = (-3\sqrt{3} - 0, 9 - 0) = (-3\sqrt{3}, 9) \]

Шаг 3: Нахождение угла

Угол \( \theta \) между вектором \( \overline{OM} \) и положительной полуосью \( X \) можно найти, используя тангенс угла:

\[ \tan(\theta) = \frac{y}{x} \]

Подставим значение \( y = 9 \) и \( x = -3\sqrt{3} \).

\[ \tan(\theta) = \frac{9}{-3\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \]

Шаг 4: Определение угла

Теперь нам нужно найти угол \( \theta \), которому соответствует тангенс \( -\sqrt{3} \). Известно, что:

\[ \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \quad \text{и} \quad \tan(300^\circ) = -\sqrt{3} \]

Поскольку \( y \) положительное, а \( x \) отрицательное, мы можем заключить, что точка \( M \) находится во втором квадранте. Таким образом, угол \( \theta \) будет равен \( 120^\circ \) (поскольку это второй квадрант).

Ответ:

Угол между вектором \( \overline{OM} \) и положительной полуосью \( X \) равен \( 120^\circ \).