Решить
Для решения задачи используем биномиальное распределение. Здесь вероятность успеха (правильного решения задачи) \( p = 0.75 \). Нам нужно узнать вероятность того, что Маша решит не менее 8 из 10 задач. Рассчитываем это как сумму вероятностей того, что она решит ровно 8, 9 или 10 задач.
Биномиальная вероятность вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который равен \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
- \( n = 10 \) — общее количество задач,
- \( k \) — количество задач, решённых правильно,
- \( p = 0.75 \) — вероятность правильного решения одной задачи.
- Вероятность решения ровно 8 задач:
\[ P(X = 8) = C(10, 8) \cdot 0.75^8 \cdot 0.25^2 \]
\[ = \frac{10!}{8!2!} \cdot 0.75^8 \cdot 0.25^2 \]
\[ = 45 \cdot 0.1001 \cdot 0.0625 \]
\[ \approx 0.146 \]
- Вероятность решения ровно 9 задач:
\[ P(X = 9) = C(10, 9) \cdot 0.75^9 \cdot 0.25^1 \]
\[ = \frac{10!}{9!1!} \cdot 0.75^9 \cdot 0.25 \]
\[ = 10 \cdot 0.075 \cdot 0.25 \]
\[ \approx 0.189 \]
- Вероятность решения ровно 10 задач:
\[ P(X = 10) = C(10, 10) \cdot 0.75^{10} \cdot 0.25^0 \]
\[ = 1 \cdot 0.0563 \cdot 1 \]
\[ \approx 0.056 \]
Теперь сложим все вероятности для определения вероятности того, что Маша решит не менее 8 задач:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \]
\[ = 0.146 + 0.189 + 0.056 \]
\[ \approx 0.391 \]
Итак, вероятность того, что Маша решит не менее 8 задач из 10, составляет примерно \(0.391\).
