найти угол между векторами: a=(6;-2) b=(9;-12)

Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем воспользоваться формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} \]

где:

• \( \theta \) — угол между векторами,
• \( a \cdot b \) — скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \),
• \( |a| \) и \( |b| \) — нормы (длиitudes) векторов \( a \) и \( b \).

Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \)

Векторы: \[ a = (6; -2) \] \[ b = (9; -12) \]

Скалярное произведение определяется как: \[ a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] где \( a_1 \) и \( a_2 \) — компоненты вектора \( a \), \( b_1 \) и \( b_2 \) — компоненты вектора \( b \).

Следовательно: \[ a \cdot b = 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-12) = 54 + 24 = 78 \]

Шаг 2: Найдем нормы векторов \( a \) и \( b \)

Норма вектора \( a \) определяется как: \[ |a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] Для вектора \( a \): \[ |a| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Теперь найдем норму вектора \( b \): \[ |b| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \]

Шаг 3: Подставим значения в формулу для косинуса угла

Теперь, подставим найденные значения в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{78}{(2\sqrt{10})(15)} \]

Расчитаем знаменатель: \[ 2\sqrt{10} \cdot 15 = 30\sqrt{10} \]

Таким образом: \[ \cos(\theta) = \frac{78}{30\sqrt{10}} \]

Шаг 4: Найдем угол \( \theta \)

Чтобы найти угол \( \theta \), используем обратную функцию косинуса: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{78}{30\sqrt{10}}\right) \]

На этом шаге можно использовать калькулятор для нахождения значения угла. Давайте сначала упростим выражение:

Шаг 5: Упрощаем и считаем угол

Теперь необходимо оценить значение \( \frac{78}{30\sqrt{10}} \):

1. Вычисляем:

   • \( \sqrt{10} \approx 3.162 \)
   • \( 30 \sqrt{10} \approx 30 \cdot 3.162 \approx 94.86 \)
   • \( \cos(\theta) \approx \frac{78}{94.86} \approx 0.822 \)

2. Находим угол с помощью обратного косинуса: \[ \theta \approx \cos^{-1}(0.822) \]

После вычислений (можно воспользоваться функций калькулятора) мы получаем: \[ \theta \approx 35.0^\circ \]

Ответ

Угол между векторами \( a \) и \( b \) примерно равен \( 35^\circ \).