Найти угол между векторами: a=(6;-2) b=(9;-12)

Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем воспользоваться формулой: \[ \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} \] где: - \( \theta \) — угол между векторами, - \( a \cdot b \) — скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \), - \( |a| \) и \( |b| \) — нормы (длиitudes) векторов \( a \) и \( b \). ### Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \) Векторы: \[ a = (6; -2) \] \[ b = (9; -12) \] Скалярное произведение определяется как: \[ a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] где \( a_1 \) и \( a_2 \) — компоненты вектора \( a \), \( b_1 \) и \( b_2 \) — компоненты вектора \( b \). Следовательно: \[ a \cdot b = 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-12) = 54 + 24 = 78 \] ### Шаг 2: Найдем нормы векторов \( a \) и \( b \) Норма вектора \( a \) определяется как: \[ |a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] Для вектора \( a \): \[ |a| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] Теперь найдем норму вектора \( b \): \[ |b| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \] ### Шаг 3: Подставим значения в формулу для косинуса угла Теперь, подставим найденные значения в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{78}{(2\sqrt{10})(15)} \] Расчитаем знаменатель: \[ 2\sqrt{10} \cdot 15 = 30\sqrt{10} \] Таким образом: \[ \cos(\theta) = \frac{78}{30\sqrt{10}} \] ### Шаг 4: Найдем угол \( \theta \) Чтобы найти угол \( \theta \), используем обратную функцию косинуса: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{78}{30\sqrt{10}}\right) \] На этом шаге можно использовать калькулятор для нахождения значения угла. Давайте сначала упростим выражение: ### Шаг 5: Упрощаем и считаем угол Теперь необходимо оценить значение \( \frac{78}{30\sqrt{10}} \): 1. Вычисляем: - \( \sqrt{10} \approx 3.162 \) - \( 30 \sqrt{10} \approx 30 \cdot 3.162 \approx 94.86 \) - \( \cos(\theta) \approx \frac{78}{94.86} \approx 0.822 \) 2. Находим угол с помощью обратного косинуса: \[ \theta \approx \cos^{-1}(0.822) \] После вычислений (можно воспользоваться функций калькулятора) мы получаем: \[ \theta \approx 35.0^\circ \] ### Ответ Угол между векторами \( a \) и \( b \) примерно равен \( 35^\circ \).