Давайте решим каждую из задач по геометрии, придерживаясь вашего запроса на детальное объяснение для 9 класса.
1. Площадь круга. Дан радиус
Условие: Коза привязана цепью длиной 6,8 м. Какая площадь доступна ей?
Решение:
Площадь круга (S) находится по формуле:
[ S = \pi r^2 ]
где ( r ) — радиус круга.
Длина цепи равна радиусу, то есть ( r = 6,8 ) м. Подставим значение в формулу:
[ S = \pi (6,8)^2 ]
[ S = \pi \times 46,24 ]
Принимаем ( \pi \approx 3,14 ):
[ S \approx 3,14 \times 46,24 ]
[ S \approx 145,04 ]
Таким образом, площадь, доступная козе, составляет approximately 145,04 м².
2. Формула площади круга
Условие: Вычисли радиус круга, если его площадь ( S = 49\pi ) м².
Решение:
Используем формулу для площади круга:
[ S = \pi r^2 ]
Поскольку ( S = 49\pi ), приравниваем:
[ 49\pi = \pi r^2 ]
Разделим обе стороны на ( \pi ):
[ 49 = r^2 ]
Теперь находим радиус:
[ r = \sqrt{49} ]
[ r = 7 ]
Таким образом, радиус круга равен 7 м.
3. Площадь круга. Даны хорда, центральный угол
Условие: Вычисли площадь круга, если хорда FE = 6,3 м и центральный угол ( \angle EOF = 60° ).
Решение:
Для нахождения радиуса круга через хорду и угол, воспользуемся формулой:
[ r = \frac{L}{2 \cdot \sin(\frac{\theta}{2})} ]
где ( L ) — длина хорды, ( \theta ) — центральный угол в градусах.
Подставляем значения:
[ r = \frac{6,3}{2 \cdot \sin(30°)} ]
Зная, что ( \sin(30°) = 0,5 ):
[ r = \frac{6,3}{2 \cdot 0,5} = \frac{6,3}{1} = 6,3 ]
Теперь вычисляем площадь круга:
[ S = \pi r^2 = \pi (6,3)^2 = \pi \cdot 39,69 ]
Принимаем ( \pi \approx 3,14 ):
[ S \approx 3,14 \cdot 39,69 \approx 124,48 ]
Таким образом, площадь круга составляет approximately 124,48 м².
4. Площадь круга, вписанного в квадрат
Условие: Найди длину окружности ( C ) и площадь круга ( S ), если окружность вписана в квадрат, площадь которого равна 144 см².
Решение:
Сначала найдем сторону квадрата:
[ a^2 = 144 \rightarrow a = \sqrt{144} = 12 , \text{см} ]
Радиус окружности равен половине стороны квадрата:
[ r = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 , \text{см} ]
Теперь находим площадь круга:
[ S = \pi r^2 = \pi (6)^2 = \pi \cdot 36 ]
Принимаем ( \pi \approx 3,14 ):
[ S \approx 3,14 \cdot 36 \approx 113,04 ]
Длина окружности:
[ C = 2\pi r = 2\pi \cdot 6 \approx 12\pi \approx 37,68 ]
Итак, площадь круга равна approximately 113,04 см², а длина окружности approximately 37,68 см.
5. Площадь сектора. Даны радиус, центральный угол
Условие: Вычисли площадь сектора, если радиус круга равен 9 см и центральный угол сектора равен 18°.
Решение:
Площадь сектора (S) вычисляется по формуле:
[ S = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2 ]
Подставляем данные:
[ S = \frac{18}{360} \cdot \pi \cdot (9)^2 ]
[ S = \frac{1}{20} \cdot \pi \cdot 81 ]
[ S = \frac{81\pi}{20} ]
Принимая ( \pi \approx 3,14 ):
[ S \approx \frac{81 \cdot 3,14}{20} \approx 12,73 ]
Площадь сектора составляет approximately 12,73 см².
6. Площадь сектора. Дан радиус, центральный угол
Условие: Вычисли площадь сектора, если радиус круга равен 4 см и центральный угол сектора равен 288°.
Решение:
[ S = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2 ]
[ S = \frac{288}{360} \cdot \pi \cdot (4)^2 ]
[ S = \frac{4}{5} \cdot \pi \cdot 16 = \frac{64\pi}{5} ]
Принимаем ( \pi \approx 3,14 ):
[ S \approx \frac{64 \cdot 3,14}{5} \approx 40,15 ]
Таким образом, площадь сектора составляет approximately 40,15 см².
7. Площадь сегментов. Дан радиус, центральный угол
Условие: Вычисли площади закрашенного и незакрашенного сегментов, если радиус круга равен 14 дм и меньший центральный угол равен 90°.
Решение:
- Площадь сектора:
[ S_{сектора} = \frac{90°}{360°} \cdot \pi (14)^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 196 = 49\pi ]
- Площадь треугольника через радиус:
[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} r^2 \sin\theta = \frac{1}{2} \cdot 14^2 \cdot \sin(90°) = \frac{1}{2} \cdot 196 = 98 ]
- Площадь сегмента:
[ S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = 49\pi - 98 ]
Принимаем ( \pi \approx 3,14 ):
[ S_{сегмента} \approx 153,86 - 98 = 55,86 ]
Таким образом, площадь закрашенного сегмента составляет approximately 55,86 дм².
8. Площадь сектора, сегмента и треугольника
Условие: Вычисли площадь меньшего сектора, площадь треугольника EOF и площадь меньшего сегмента, если радиус круга равен 6 см и центральный угол равен 90° (π ≈ 3,14).
Решение:
- Площадь меньшего сектора:
[ S_{сектора} = \frac{90°}{360°} \cdot \pi (6)^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 36 = 9\pi \approx 28,26 ]
- Площадь треугольника:
[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} r^2 \sin\theta = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin(90°) = 18 ]
- Площадь меньшего сегмента:
[ S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = 9\pi - 18 ]
Принимаем ( \pi \approx 3,14 ):
[ S_{сегмента} \approx 28,26 - 18 \approx 10,26 ]
Таким образом, площади составляют:
- Меньший сектор: approximately 28,26 см².
- Треугольник: 18 см².
- Меньший сегмент: approximately 10,26 см².
Это подробные решения для всех заданных задач. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать!
