Давайте решим каждую из задач по порядку, подробно объясняя все шаги.
1. Площадь круга. Дан радиус
Условие: Коза привязана цепью длиной 6,8 м. Какая площадь доступна ей?
Решение:
Чтобы найти площадь, доступную козе, которая привязана цепью, нам нужно определить площадь круга с радиусом, равным длине цепи.
Шаг 1: Определим радиус круга.
Радиус ( r ) равен длине цепи, то есть ( r = 6,8 ) м.
Шаг 2: Используем формулу для площади круга:
[
S = \pi r^2
]
Шаг 3: Подставим значение радиуса в формулу:
[
S = \pi (6,8)^2
]
Шаг 4: Вычислим ( (6,8)^2 ):
[
(6,8)^2 = 46,24
]
Шаг 5: Теперь подставим это значение в формулу:
[
S = \pi \times 46,24 \approx 145,36 , \text{м}^2
]
Таким образом, площадь, доступная козе, составляет примерно 145,36 м².
2. Формула площади круга
Условие: Вычисли радиус круга, если его площадь ( S = 49\pi ) м².
Решение:
Чтобы найти радиус круга, когда известна площадь, используем обратную формулу для площади круга.
Шаг 1: Напомним формулу площади круга:
[
S = \pi r^2
]
Шаг 2: Подставим известное значение площади:
[
49\pi = \pi r^2
]
Шаг 3: Упростим уравнение, разделив обе стороны на ( \pi ):
[
49 = r^2
]
Шаг 4: Найдем радиус ( r ) путем извлечения квадратного корня:
[
r = \sqrt{49} = 7 , \text{м}
]
Таким образом, радиус круга равен 7 м.
3. Площадь круга. Даны хорда, центральный угол
Условие: Вычисли площадь круга, если хорда ( FE = 6,3 ) м и центральный угол ( ∠EOF = 60° ).
Решение:
Для нахождения площади круга нужно сначала найти радиус, используя данные о хорде и угле.
Шаг 1: Используем формулу, связывающую радиус с хордой и центральным углом.
Длина хорды ( c ) связана с радиусом ( r ) и углом ( \theta ) (в радианах) следующим образом:
[
c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
]
Значения:
- ( c = 6,3 ) м;
- ( \theta = 60° ) (в радианах это ( \frac{\pi}{3} )).
Шаг 2: Подставляем значение угла в радианах:
[
c = 2r \sin\left(\frac{60°}{2}\right) = 2r \sin(30°) = 2r \cdot \frac{1}{2} = r
]
Таким образом:
[
6,3 = r
]
Шаг 3: Теперь мы знаем радиус ( r = 6,3 ) м.
Шаг 4: Найдем площадь круга:
[
S = \pi r^2 = \pi (6,3)^2
]
Шаг 5: Вычислим ( (6,3)^2 ):
[
(6,3)^2 \approx 39,69
]
Шаг 6: Подставим это значение в формулу площади:
[
S \approx \pi \times 39,69 \approx 124,76 , \text{м}^2
]
Таким образом, площадь круга составляет примерно 124,76 м².
