В мерный стакан (прямой круговой цилиндр) до отметки 12 см над уровнем дна налита вода. В стакан опустили грузик, сделанный из пластика и металла. Масса грузика в 8 раз меньше…

Для решения задачи, давайте рассмотрим все данные шаг за шагом и проведем нужные расчеты.

Дано:

1. В высоту 12 см над уровнем дна налита вода в мерном стакане.
2. Масса грузика в 8 раз меньше массы воды.
3. Воздушная полость в грузике составляет 20% от его объема.
4. Металл составляет 10% от объема грузика, остальное (70%) - пластик.
5. Плотность металла в 2,7 раза больше плотности воды, а плотность пластика составляет 0,8 от плотности воды.

Плотности

Обозначим плотность воды как \( \rho_w \). Тогда:

• Плотность металла \( \rho_m = 2.7 \cdot \rho_w \)
• Плотность пластика \( \rho_p = 0.8 \cdot \rho_w \)

Объем воды

Объем воды в стакане можно найти по формуле: \[ V_w = S \cdot h \] где:

• \( S \) — площадь основания цилиндра (мерного стакана) (не определена, но она нам не нужна для того, чтобы найти величину подъема воды, так как она взаимно сократится в дальнейших расчетах),
• \( h = 12 \, \text{см} \) — высота воды.

Масса воды

Объем воды равен \( V_w = S \cdot 12 \), тогда масса воды: \[ m_w = V_w \cdot \rho_w = S \cdot 12 \cdot \rho_w \]

Масса грузика

Согласно условию, масса грузика \( m_g = \frac{m_w}{8} \): \[ m_g = \frac{S \cdot 12 \cdot \rho_w}{8} \]

Объем грузика

Обозначим объем грузика как \( V_g \). Из его массы находим его объем: \[ V_g = \frac{m_g}{\rho_g} \] где \( \rho_g \) — средняя плотность грузика. Средняя плотность грузика можно рассчитать по формуле: \[ \rho_g = \frac{(0.2 \cdot V_g \cdot \rho_w) + (0.1 \cdot V_g \cdot \rho_m) + (0.7 \cdot V_g \cdot \rho_p)}{V_g} \]

Расчет объема грузика

Объем грузика \( V_g \) равен: \[ V_g = V_{air} + V_{metal} + V_{plastic} = 0.2V_g + 0.1V_g + 0.7V_g = V_g \]

Теперь найдем среднюю плотность:

Плотность воздуха будем считать равной нулю (так как он не влияет на массу грузика): \[ \rho_g = \frac{0.1V_g \cdot 2.7 \rho_w + 0.7V_g \cdot 0.8 \rho_w}{V_g} = 0.1 \cdot 2.7 \rho_w + 0.7 \cdot 0.8 \rho_w = 0.27 \rho_w + 0.56 \rho_w = 0.83 \rho_w \]

Подставляем обратно

Теперь подставим это значение в формулу для мaссы грузика: \[ m_g = \frac{S \cdot 12 \cdot \rho_w}{8} \] и уравняем его с выражением через объем, \[ \frac{m_g}{\rho_g} = V_g \Rightarrow V_g = \frac{\frac{S \cdot 12 \cdot \rho_w}{8}}{0.83 \cdot \rho_w} = \frac{S \cdot 12}{8 \cdot 0.83} \]

Подъем уровня воды

Когда грузик помещается в воду, он вытесняет объём воды, равный своему объему: \[ V_{displaced} = V_g \] Таким образом: \[ h_{rise} = \frac{V_{displaced}}{S} \]

Подставляем всё

После подстановки в формулу вверх: \[ h_{rise} = \frac{S \cdot 12}{8 \cdot 0.83 S} = \frac{12}{8 \cdot 0.83} = \frac{12}{6.64} \approx 1.805 \]

Ответ

Уровень воды поднимется примерно на \( \textbf{1.8 см} \) (округляя до десятых).

Таким образом, уровень воды в сосуде поднимется на 1.8 см.