Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 5. Какова вероятность того, что было сделано три броска? Ответ округлите до сотых.
Чтобы решить задачу о вероятности того, что сумма очков на игральной кости равна 5 при условии, что было сделано три броска, давайте разберем её шаг за шагом.
Шаг 1: Определяем исходные данные
- Определим событие: Нам нужно найти вероятность того, что сумма трех бросков равна 5.
- Что можно получить на каждом броске: На игральной кости возможны значения от 1 до 6.
Шаг 2: Все возможные комбинации бросков
Давайте сначала выясним, сколько способов существует, чтобы получить сумму 5 тремя бросками.
Пусть \( x_1, x_2, x_3 \) — значения на трех бросках. Тогда у нас есть уравнение: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 5, \] где \( x_1, x_2, x_3 \) — это целые числа от 1 до 6.
Чтобы упростить вычисления, сделаем замену переменных: \[ y_1 = x_1 - 1, \] \[ y_2 = x_2 - 1, \] \[ y_3 = x_3 - 1. \]
Теперь, поскольку \( x_i \) должен быть не меньше 1 (так как на костях выпадают числа от 1 до 6), \( y_i \) должно быть больше или равно 0. Тогда уравнение преобразуется в: \[ (y_1 + 1) + (y_2 + 1) + (y_3 + 1) = 5, \] или \[ y_1 + y_2 + y_3 = 2. \]
Шаг 3: Находим количество неотрицательных решений
Подсчитаем количество неотрицательных целочисленных решений для уравнения \( y_1 + y_2 + y_3 = 2 \). Это задача о разбиении числа на части (комбинации с повторениями).
По формуле для неотрицательных решений: \[ C(n+k-1, k-1), \] где \( n \) — сумма, а \( k \) — количество переменных.
В нашем случае \( n = 2 \) и \( k = 3 \): \[ C(2 + 3 - 1, 3 - 1) = C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6. \]
Шаг 4: Находим общее количество исходов
Теперь определим общее количество возможных исходов при трех бросках игральной кости. Поскольку для каждого броска у нас есть 6 возможных результатов, общее число исходов для трех бросков равно: \[ 6^3 = 216. \]
Шаг 5: Находим вероятность
Теперь, когда у нас есть количество благоприятных исходов и общее количество исходов, можем вычислить вероятность: \[ P(\text{сумма} = 5 \mid \text{3 броска}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}. \]
Шаг 6: Окончательный ответ
Теперь округлим результат до сотых: \[ \frac{1}{36} \approx 0.0278. \]
Таким образом, вероятность того, что сумма выпавших очков на трех бросках равна 5, составляет примерно 0.03 при округлении до сотых.
