Давайте обозначим радиус основания конуса как ( r ), а образующую как ( l ). По условию радиус на 4 см меньше образующей, то есть:
[
r = l - 4
]
Площадь полной поверхности конуса рассчитывается по формуле:
[
S = \pi r (r + l)
]
По условию ( S = 96\pi ) см². Подставим выражение для ( S ):
[
\pi r (r + l) = 96\pi
]
Удалим ( \pi ) из обоих сторон уравнения:
[
r (r + l) = 96
]
Теперь подставим ( l = r + 4 ):
[
r (r + (r + 4)) = 96
]
Упростим уравнение:
[
r (2r + 4) = 96
]
Раскроем скобки:
[
2r^2 + 4r - 96 = 0
]
Разделим уравнение на 2:
[
r^2 + 2r - 48 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196
]
Находим корни уравнения:
[
r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 14}{2}
]
Таким образом, у нас есть два корня:
- ( r_1 = \frac{12}{2} = 6 ) см
- ( r_2 = \frac{-16}{2} = -8 ) см (недопустимый корень)
Таким образом, радиус основания ( r = 6 ) см.
Теперь найдем высоту конуса ( h ). Для этого найдем образующую ( l ):
[
l = r + 4 = 6 + 4 = 10 \text{ см}
]
Теперь можно найти высоту ( h ) с помощью теоремы Пифагора:
[
h^2 + r^2 = l^2
]
Подставим известные значения:
[
h^2 + 6^2 = 10^2
]
[
h^2 + 36 = 100
]
[
h^2 = 100 - 36 = 64
]
[
h = \sqrt{64} = 8 \text{ см}
]
Таким образом, радиус основания конуса равен ( 6 ) см, а высота конуса равна ( 8 ) см.
