Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с игральной костью и определим события A и B.
Игральная кость имеет 6 граней, которые обозначим числами от 1 до 6: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Событие A: "на кости выпало число, кратное 2". Кратные 2 числа на гранях кости — это 2, 4 и 6. То есть, событие A можно представить как {2, 4, 6}.
Событие B: "выпало число, кратное 3". Кратные 3 числа на гранях кости — это 3 и 6. Соответственно, событие B можно представить как {3, 6}.
Теперь давайте ответим на заданные вопросы:
А). Определите, совместны ли события A и B.
События A и B являются совместными, если они могут произойти одновременно, т.е. если существует хотя бы одно общее значение в их множествах.
- Множество A: {2, 4, 6}
- Множество B: {3, 6}
Общее значение: 6.
Поскольку у событий A и B есть общая точка (6), то эти события совместны.
Б). Сформулируйте и запишите словами событие ( A \cup B ).
Событие ( A \cup B ) (объединение событий A и B) означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B.
Запишем событие A ∪ B словами: "выпало число, кратное 2 или кратное 3".
Множество ( A \cup B ) будет равно объединению элементов обоих множеств: {2, 4, 6} ∪ {3, 6} = {2, 3, 4, 6}.
В). Сформулируйте и запишите словами событие ( A \cap B ).
Событие ( A \cap B ) (пересечение событий A и B) означает, что произошло и событие A, и событие B одновременно.
Запишем событие A ∩ B словами: "выпало число, кратное 2 и кратное 3".
Множество ( A \cap B ) будет равно пересечению элементов обоих множеств: {2, 4, 6} ∩ {3, 6} = {6}.
Г). Найдите вероятность события ( A \cup B ).
Для нахождения вероятности события ( A \cup B ) используем формулу:
[
P(A \cup B) = \frac{|A \cup B|}{|S|}
]
где ( |A \cup B| ) — количество благоприятных исходов для события ( A \cup B ), а ( |S| ) — общее количество исходов (в данном случае 6, так как есть 6 граней).
Количество исходов для ( A \cup B ): {2, 3, 4, 6} — это 4 возможных исхода.
Следовательно,
[
P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
]
Д). Найдите вероятность события ( A \cap B ).
Для нахождения вероятности события ( A \cap B ) используем аналогичную формулу:
[
P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|S|}
]
Количество исходов для ( A \cap B ): {6} — это 1 возможный исход.
Следовательно,
[
P(A \cap B) = \frac{1}{6}.
]
Итоги:
- События A и B совместны.
- ( A \cup B ): "выпало число, кратное 2 или кратное 3".
- ( A \cap B ): "выпало число, кратное 2 и кратное 3".
- Вероятность ( P(A \cup B) = \frac{2}{3} ).
- Вероятность ( P(A \cap B) = \frac{1}{6} ).
