Даны два комплексных числа zi= (12 + 2i) и z2=(3 - 4і). Найдите : частное.

Для того чтобы найти частное двух комплексных чисел \( z_1 = (12 + 2i) \) и \( z_2 = (3 - 4i) \), нам нужно выполнить следующее:

1. Записать выражение для частного: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12 + 2i}{3 - 4i} \]

2. Умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя: Комплексно-сопряженное значение \( z_2 \) можно получить, изменив знак у мнимой части. Оно будет равно \( 3 + 4i \).

   Умножим числитель и знаменатель на \( 3 + 4i \): \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(12 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} \]

3. Вычислить знаменатель: Используем формулу \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \): \[ (3 - 4i)(3 + 4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25 \]

4. Вычислить числитель: Раскрываем скобки: \[ (12 + 2i)(3 + 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i \] Делаем вычисления по отдельности:

   • \( 12 \cdot 3 = 36 \)
   • \( 12 \cdot 4i = 48i \)
   • \( 2i \cdot 3 = 6i \)
   • \( 2i \cdot 4i = 8(-1) = -8 \) (поскольку \( i^2 = -1 \))

   Складываем все части: \[ 36 + 48i + 6i - 8 = 28 + 54i \]

5. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{28 + 54i}{25} \]

6. Разделим каждую часть числителя на 25: \[ \frac{28}{25} + \frac{54}{25}i \]

7. Запишем итоговый ответ: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{28}{25} + \frac{54}{25}i \]

Таким образом, частное комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \) равно \( \frac{28}{25} + \frac{54}{25}i \).