1) В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число? 2) В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза. 3) Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последние 2 раза промахнулся. 4) Каждый из 35 сотрудников фирмы говорит хотя бы на одном из двух иностранных языков. Известно, что 23 сотрудника говорят на английском языке, а 17 на французском. Сколько сотрудников этой фирмы могут говорить и на английском, и на французском языках? 5) Симметричный игральный кубик бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 7. Найдите вероятность события «при втором броске выпало 4 очка». 6) Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0,7. Если А играет чёрными, то он выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Шахматисты А и Б играют одну партию, причём цвет фигур определяется с помощью бросания симметричного игрального кубика. Если выпадет цифра 6, то белыми играет Б, иначе белыми играет А. Найдите вероятность того, что выиграет шахматист Б. 7) В восьмом классе учатся 7 мальчиков и 13 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Найдите вероятность того, что это будет девочка. 8) Каждое из 24 пирожных в коробке посыпано сахарной пудрой или орешками, либо и тем, и другим. Известно, что 13 пирожных посыпано сахарной пудрой, а 19-орешками. Сколько пирожных посыпано и пудрой, и орешками одновременно? 9) Симметричный игральный кубик бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 7. Найдите вероятность события «ни при одном из бросков не выпадало меньше 4 очков». 10) Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0,6. Если А играет чёрными, то он выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А и Б играют одну партию, причём цвет фигур определяется с помощью бросания игрального кубика. Если выпадает цифра 6, то белыми играет Б, иначе белыми играет А. Найдите вероятность того, что выиграет шахматист А.

Сначала разберем каждую задачу по отдельности, предоставляя подробное решение с объяснениями. ### Задача 1 **В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?** 1. **Определим общее количество жетонов.** Номера жетонов варьируются от 5 до 54, следовательно, общее количество жетонов: \[ 54 - 5 + 1 = 50 \] 2. **Определим количество двузначных жетонов.** Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 54. Количество двузначных чисел: \[ 54 - 10 + 1 = 45 \quad (\text{числа от 10 до 54 включительно}) \] 3. **Найдем количество одноместных жетонов (т.е. с одним значением).** Одноместные числа: 5, 6, 7, 8, 9 (всего 5 чисел). 4. **Теперь найдем количество двузначных жетонов:** Количество двузначных жетонов равно количеству всех жетонов минус количество одноместных: \[ 50 - 5 = 45 \] 5. **Посчитаем вероятность.** Вероятность того, что извлеченный жетон содержит двузначное число: \[ P(\text{двузначное число}) = \frac{\text{количество двузначных жетонов}}{\text{общее количество жетонов}} = \frac{45}{50} = 0.9 \] ### Ответ: Вероятность того, что извлеченный жетон содержит двузначное число, равна 0,9. --- ### Задача 2 **В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.** 1. **Определим общее количество исходов.** При трех бросках монеты общее количество возможностей: \[ 2^3 = 8 \] 2. **Перечислим все исходы.** Возможные комбинации результатов (О - орел, Р - решка): - ООO - ООP - OPO - OP0 - POO - POR - ROP - PRP 3. **Посчитаем удачные исходы.** Ищем комбинации, где точно 2 орла: - ООP - OPO - POO Их всего 3. 4. **Рассчитаем вероятность.** Вероятность, что орел выпал ровно 2 раза: \[ P(\text{2 орла}) = \frac{\text{число удачных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{3}{8} \] ### Ответ: Вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза, равна \(\frac{3}{8}\). --- ### Задача 3 **Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последние 2 раза промахнулся.** 1. **Зададим вероятности.** Вероятность попадания: \( p = 0.6 \). Вероятность промаха: \( q = 1 - p = 0.4 \). 2. **Найдем вероятность исхода "попал, попал, промахнулся, промахнулся".** Исходы можно представить так: \( P(P, P, M, M) \). 3. **Рассчитаем вероятность данного исхода.** \[ P(P, P, M, M) = p \times p \times q \times q = 0.6 \times 0.6 \times 0.4 \times 0.4 \] \[ = 0.6^2 \times 0.4^2 = (0.36) \times (0.16) = 0.0576 \] ### Ответ: Вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последние 2 промахнулся, равна 0.0576. --- ### Задача 4 **Каждый из 35 сотрудников фирмы говорит хотя бы на одном из двух иностранных языков. Известно, что 23 сотрудника говорят на английском языке, а 17 на французском. Сколько сотрудников этой фирмы могут говорить и на английском, и на французском языках?** 1. **Обозначим количество сотрудников, говорящих на обоих языках, как \( x \).** 2. **Воспользуемся формулой для объединения множеств.** Общее количество сотрудников, говорящих хотя бы на одном языке, можно выразить как: \[ |E \cup F| = |E| + |F| - |E \cap F| \] Здесь \( |E| \) — количество сотрудников, говорящих на английском (23), \( |F| \) — количество сотрудников, говорящих на французском (17), и \( |E \cap F| \) — количество сотрудников, говорящих на обоих языках (\( x \)). 3. **Подставим известные значения.** Таким образом: \[ 35 = 23 + 17 - x \] 4. **Решим уравнение.** \[ 35 = 40 - x \quad \Rightarrow \quad x = 40 - 35 = 5 \] ### Ответ: 5 сотрудников фирмы могут говорить и на английском, и на французском языках. --- ### Задача 5 **Симметричный игральный кубик бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 7. Найдите вероятность события «при втором броске выпало 4 очка».** 1. **Перечислим все исходы, где сумма больше 7.** Исходы (здесь у нас 6 × 6 = 36 возможных исходов для 2 бросков): - 2 + 6 = 8 - 3 + 5 = 8 - 4 + 4 = 8 - 5 + 3 = 8 - 6 + 2 = 8 - 3 + 6 = 9 - 4 + 5 = 9 - ... В итоге: - (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) - (3,6), (4,5) - (4,6), (5,4), (6,3) - (5,5), (6,4) - (6,5), (6,6) Всего: 27 исходов (вычисляем отдельно). 2. **Возможные варианты, чтобы второй бросок был 4.** Это: - (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) → они также должны дать в сумме больше 7. Таким образом, совпадают комбинации: - (4,4) - (5,4) - (6,4) Таким образом, всего 3 удачных исхода, когда второй бросок 4 очка и сумма больше 7 (предшествующий бросок для 1, 2 и 3). 3. **Посчитаем вероятность.** В итоге: \[ P(\text{второй бросок = 4} | \text{сумма > 7}) = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} \] ### Ответ: Вероятность события «при втором броске 4 очка» при условии, что сумма больше 7, равна \(\frac{1}{9}\). --- ### Задача 6 **Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0,7. Если А играет чёрными, то он выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Шахматисты А и Б играют одну партию, причём цвет фигур определяется с помощью бросания симметричного игрального кубика. Если выпадет цифра 6, то белыми играет Б, иначе белыми играет А. Найдите вероятность того, что выиграет шахматист Б.** 1. **Вероятности игры:** - П(B белыми) = \(\frac{1}{6}\) (выброс 6) - П(A белыми) = \(\frac{5}{6}\) 2. **Теперь посчитаем вероятности выигрыша.** - Если Б белыми: - П(Б выигрывает | Б белыми) = 0,3 - П(А выигрывает | Б белыми) = 0,7 - Если А белыми: - П(Б выигрывает | А белыми) = 0,6 - П(А выигрывает | А белыми) = 0,4 3. **Подсчитаем итоговую вероятность.** Обозначим P(Б выигрывает): \[ P(\text{Б выигрывает}) = P(\text{Б белыми}) \cdot P(\text{Б выигрывает | Б белыми}) + P(\text{А белыми}) \cdot P(\text{Б выигрывает | А белыми}) \] \[ P(\text{Б выигрывает}) = \left(\frac{1}{6} \cdot 0,3\right) + \left(\frac{5}{6} \cdot 0,6\right) \] \[ = \frac{0,3}{6} + \frac{3}{6} = \frac{0,3 + 3}{6} = \frac{3,3}{6} = 0,55 \] ### Ответ: Вероятность того, что выиграет шахматист Б, равна 0,55. --- ### Задача 7 **В восьмом классе учатся 7 мальчиков и 13 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Найдите вероятность того, что это будет девочка.** 1. **Определим общее количество учащихся:** \[ 7 + 13 = 20 \] 2. **Вычислим вероятность выбора девочки:** \[ P(\text{девочка}) = \frac{\text{количество девочек}}{\text{общее количество}} = \frac{13}{20} \] ### Ответ: Вероятность того, что дежурным по классу будет девочка, равна \(\frac{13}{20}\). --- ### Задача 8 **Каждое из 24 пирожных в коробке посыпано сахарной пудрой или орешками, либо и тем, и другим. Известно, что 13 пирожных посыпано сахарной пудрой, а 19 орешками. Сколько пирожных посыпано и пудрой, и орешками одновременно?** 1. **Обозначим количество пирожных, посыпанных обеими декоративными посыпками как \( x \).** 2. **Используем формулу для объединения множеств:** \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Здесь: - \( |A| = 13 \) (пирожные с сахарной пудрой) - \( |B| = 19 \) (пирожные с орешками) 3. **Подставим в формулу:** \[ 24 = 13 + 19 - x \] 4. **Решим уравнение:** \[ x = 13 + 19 - 24 = 8 \] ### Ответ: Количество пирожных, посыпанных и пудрой, и орешками одновременно, равно 8. --- ### Задача 9 **Симметричный игральный кубик бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 7. Найдите вероятность события «ни при одном из бросков не выпадало меньше 4 очков».** 1. **Перечислим все исходы, где сумма очков больше 7:** Возможные комбинации: - (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (3,6), (4,5), (5,4), (4,6), (6,3), (5,5), (6,6) → итого 27 исходов. 2. **Считаем удачные исходы: (4,4), (4,5), (5,4), (4,6), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6).** Удачные исходы: (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6) (итого 9). 3. **Рассчитайте вероятность:** \[ P(\text{ни разу 1,2,3}) = \frac{8}{27} \] ### Ответ: Вероятность того, что ни при одном из бросков не выпадало меньше 4 очков при условии, что сумма больше 7, равна \(\frac{8}{27}\). --- ### Задача 10 **Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0,6. Если А играет чёрными, то он выигрывает у Б с вероятностью 0,3. Шахматисты А и Б играют одну партию, причём цвет фигур определяется с помощью бросания игрального кубика. Если выпадает цифра 6, то белыми играет Б, иначе белыми играет А. Найдите вероятность того, что выиграет шахматист А.** 1. **Расписываем вероятности:** \[ P(A \text{ белыми})=\frac{5}{6}, \quad P(B \text{ белыми})=\frac{1}{6} \] 2. **Расчет вероятности выигрыша А:** \[ P(A \text{ выиграет}) = P(A \text{ белыми}) \cdot P(A \text{ выигрывает | белыми}) + P(B \text{ белыми}) \cdot P(A \text{ выигрывает | черными}) \] \[ = \frac{5}{6} \cdot 0,6 + \frac{1}{6} \cdot 0,3 \] \[ = \frac{5 \cdot 6 + 1 \cdot 3}{36} \] \[ = \frac{30 + 3}{36} = \frac{33}{36} = \frac{11}{12} \] ### Ответ: Вероятность того, что выиграет шахматист А, равна \(\frac{11}{12}\).