1) В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число? 2) В случайном…

Сначала разберем каждую задачу по отдельности, предоставляя подробное решение с объяснениями.

Задача 1

В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

1. Определим общее количество жетонов.
   Номера жетонов варьируются от 5 до 54, следовательно, общее количество жетонов: \[ 54 - 5 + 1 = 50 \]

2. Определим количество двузначных жетонов.
   Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 54. Количество двузначных чисел: \[ 54 - 10 + 1 = 45 \quad (\text{числа от 10 до 54 включительно}) \]

3. Найдем количество одноместных жетонов (т.е. с одним значением).
   Одноместные числа: 5, 6, 7, 8, 9 (всего 5 чисел).

4. Теперь найдем количество двузначных жетонов:
   Количество двузначных жетонов равно количеству всех жетонов минус количество одноместных: \[ 50 - 5 = 45 \]

5. Посчитаем вероятность.
   Вероятность того, что извлеченный жетон содержит двузначное число: \[ P(\text{двузначное число}) = \frac{\text{количество двузначных жетонов}}{\text{общее количество жетонов}} = \frac{45}{50} = 0.9 \]

Ответ:

Вероятность того, что извлеченный жетон содержит двузначное число, равна 0,9.

---

Задача 2

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

1. Определим общее количество исходов.
   При трех бросках монеты общее количество возможностей: \[ 2^3 = 8 \]

2. Перечислим все исходы.
   Возможные комбинации результатов (О - орел, Р - решка):

   • ООO
   • ООP
   • OPO
   • OP0
   • POO
   • POR
   • ROP
   • PRP

3. Посчитаем удачные исходы.
   Ищем комбинации, где точно 2 орла:

   • ООP
   • OPO
   • POO

   Их всего 3.

4. Рассчитаем вероятность.
   Вероятность, что орел выпал ровно 2 раза: \[ P(\text{2 орла}) = \frac{\text{число удачных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{3}{8} \]

Ответ:

Вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза, равна \(\frac{3}{8}\).

---

Задача 3

Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последние 2 раза промахнулся.

1. Зададим вероятности.
   Вероятность попадания: \( p = 0.6 \).
   Вероятность промаха: \( q = 1 - p = 0.4 \).

2. Найдем вероятность исхода "попал, попал, промахнулся, промахнулся".
   Исходы можно представить так: \( P(P, P, M, M) \).

3. Рассчитаем вероятность данного исхода.
   \[ P(P, P, M, M) = p \times p \times q \times q = 0.6 \times 0.6 \times 0.4 \times 0.4 \] \[ = 0.6^2 \times 0.4^2 = (0.36) \times (0.16) = 0.0576 \]

Ответ:

Вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последние 2 промахнулся, равна 0.0576.

---

Задача 4

Каждый из 35 сотрудников фирмы говорит хотя бы на одном из двух иностранных языков. Известно, что 23 сотрудника говорят на английском языке, а 17 на французском. Сколько сотрудников этой фирмы могут говорить и на английском, и на французском языках?

1. Обозначим количество сотрудников, говорящих на обоих языках, как \( x \).

2. Воспользуемся формулой для объединения множеств.
   Общее количество сотрудников, говорящих хотя бы на одном языке, можно выразить как: \[ |E \cup F| = |E| + |F| - |E \cap F| \] Здесь \( |E| \) — количество сотрудников, говорящих на английском (23), \( |F| \) — количество сотрудников, говорящих на французском (17), и \( |E \cap F| \) — количество сотрудников, говорящих на обоих языках (\( x \)).

3. Подставим известные значения.
   Таким образом: \[ 35 = 23 + 17 - x \]

4. Решим уравнение.
   \[ 35 = 40 - x \quad \Rightarrow \quad x = 40 - 35 = 5 \]

Ответ:

5 сотрудников фирмы могут говорить и на английском, и на французском языках.

---

Задача 5

Симметричный игральный кубик бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 7. Найдите вероятность события «при втором броске выпало 4 очка».

1. Перечислим все исходы, где сумма больше 7.
   Исходы (здесь у нас 6 × 6 = 36 возможных исходов для 2 бросков):

   • 2 + 6 = 8
   • 3 + 5 = 8
   • 4 + 4 = 8
   • 5 + 3 = 8
   • 6 + 2 = 8
   • 3 + 6 = 9
   • 4 + 5 = 9
   • ...

   В итоге:

   • (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)
   • (3,6), (4,5)
   • (4,6), (5,4), (6,3)
   • (5,5), (6,4)
   • (6,5), (6,6)

   Всего: 27 исходов (вычисляем отдельно).

2. Возможные варианты, чтобы второй бросок был 4. Это:

   • (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) → они также должны дать в сумме больше 7. Таким образом, совпадают комбинации:
   • (4,4)
   • (5,4)
   • (6,4)

Таким образом, всего 3 удачных исхода, когда второй бросок 4 очка и сумма больше 7 (предшествующий бросок для 1, 2 и 3).

3. Посчитаем вероятность.
   В итоге: \[ P(\text{второй бросок = 4} | \text{сумма > 7}) = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} \]

Ответ:

Вероятность события «при втором броске 4 очка» при условии, что сумма больше 7, равна \(\frac{1}{9}\).

---

Задача 6

Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0,7. Если А играет чёрными, то он выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Шахматисты А и Б играют одну партию, причём цвет фигур определяется с помощью бросания симметричного игрального кубика. Если выпадет цифра 6, то белыми играет Б, иначе белыми играет А. Найдите вероятность того, что выиграет шахматист Б.

1. Вероятности игры:

   • П(B белыми) = \(\frac{1}{6}\) (выброс 6)
   • П(A белыми) = \(\frac{5}{6}\)

2. Теперь посчитаем вероятности выигрыша.

   • Если Б белыми:
     • П(Б выигрывает | Б белыми) = 0,3
     • П(А выигрывает | Б белыми) = 0,7
   • Если А белыми:
     • П(Б выигрывает | А белыми) = 0,6
     • П(А выигрывает | А белыми) = 0,4

3. Подсчитаем итоговую вероятность.
   Обозначим P(Б выигрывает): \[ P(\text{Б выигрывает}) = P(\text{Б белыми}) \cdot P(\text{Б выигрывает | Б белыми}) + P(\text{А белыми}) \cdot P(\text{Б выигрывает | А белыми}) \] \[ P(\text{Б выигрывает}) = \left(\frac{1}{6} \cdot 0,3\right) + \left(\frac{5}{6} \cdot 0,6\right) \] \[ = \frac{0,3}{6} + \frac{3}{6} = \frac{0,3 + 3}{6} = \frac{3,3}{6} = 0,55 \]

Ответ:

Вероятность того, что выиграет шахматист Б, равна 0,55.

---

Задача 7

В восьмом классе учатся 7 мальчиков и 13 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Найдите вероятность того, что это будет девочка.

1. Определим общее количество учащихся: \[ 7 + 13 = 20 \]

2. Вычислим вероятность выбора девочки: \[ P(\text{девочка}) = \frac{\text{количество девочек}}{\text{общее количество}} = \frac{13}{20} \]

Ответ:

Вероятность того, что дежурным по классу будет девочка, равна \(\frac{13}{20}\).

---

Задача 8

Каждое из 24 пирожных в коробке посыпано сахарной пудрой или орешками, либо и тем, и другим. Известно, что 13 пирожных посыпано сахарной пудрой, а 19 орешками. Сколько пирожных посыпано и пудрой, и орешками одновременно?

1. Обозначим количество пирожных, посыпанных обеими декоративными посыпками как \( x \).

2. Используем формулу для объединения множеств: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Здесь:

   • \( |A| = 13 \) (пирожные с сахарной пудрой)
   • \( |B| = 19 \) (пирожные с орешками)

3. Подставим в формулу: \[ 24 = 13 + 19 - x \]

4. Решим уравнение: \[ x = 13 + 19 - 24 = 8 \]

Ответ:

Количество пирожных, посыпанных и пудрой, и орешками одновременно, равно 8.

---

Задача 9

Симметричный игральный кубик бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 7. Найдите вероятность события «ни при одном из бросков не выпадало меньше 4 очков».

1. Перечислим все исходы, где сумма очков больше 7:
   Возможные комбинации:

   • (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (3,6), (4,5), (5,4), (4,6), (6,3), (5,5), (6,6) → итого 27 исходов.

2. Считаем удачные исходы: (4,4), (4,5), (5,4), (4,6), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6).
   Удачные исходы:
   (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6) (итого 9).

3. Рассчитайте вероятность: \[ P(\text{ни разу 1,2,3}) = \frac{8}{27} \]

Ответ:

Вероятность того, что ни при одном из бросков не выпадало меньше 4 очков при условии, что сумма больше 7, равна \(\frac{8}{27}\).

---

Задача 10

Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0,6. Если А играет чёрными, то он выигрывает у Б с вероятностью 0,3. Шахматисты А и Б играют одну партию, причём цвет фигур определяется с помощью бросания игрального кубика. Если выпадает цифра 6, то белыми играет Б, иначе белыми играет А. Найдите вероятность того, что выиграет шахматист А.

1. Расписываем вероятности: \[ P(A \text{ белыми})=\frac{5}{6}, \quad P(B \text{ белыми})=\frac{1}{6} \]

2. Расчет вероятности выигрыша А: \[ P(A \text{ выиграет}) = P(A \text{ белыми}) \cdot P(A \text{ выигрывает | белыми}) + P(B \text{ белыми}) \cdot P(A \text{ выигрывает | черными}) \] \[ = \frac{5}{6} \cdot 0,6 + \frac{1}{6} \cdot 0,3 \] \[ = \frac{5 \cdot 6 + 1 \cdot 3}{36} \] \[ = \frac{30 + 3}{36} = \frac{33}{36} = \frac{11}{12} \]

Ответ:

Вероятность того, что выиграет шахматист А, равна \(\frac{11}{12}\).