Для решения квадратного уравнения (x^2 - 6x + 13 = 0) на множестве комплексных чисел через дискриминант, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Определим коэффициенты
В нашем уравнении:
- (a = 1) (коэффициент при (x^2)),
- (b = -6) (коэффициент при (x)),
- (c = 13) (свободный член).
Шаг 2: Найдем дискриминант
Дискриминант для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) рассчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставляем наши значения:
[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13
]
[
D = 36 - 52
]
[
D = -16
]
Шаг 3: Анализ дискриминанта
Так как дискриминант (D = -16) отрицательный, это означает, что у уравнения нет действительных корней, но есть два комплексных корня.
Шаг 4: Найдем корни уравнения
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем наши значения:
[
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2}
]
Значение (\sqrt{-16}) можно выразить через мнимую единицу (i):
[
\sqrt{-16} = 4i
]
Теперь подставим это обратно:
[
x = \frac{6 \pm 4i}{2}
]
Шаг 5: Упростим корни
Теперь делим на 2:
[
x = \frac{6}{2} \pm \frac{4i}{2}
]
[
x = 3 \pm 2i
]
Ответ
Таким образом, корни уравнения (x^2 - 6x + 13 = 0) на множестве комплексных чисел:
[
x_1 = 3 + 2i, \quad x_2 = 3 - 2i
]
Это полный процесс решения уравнения с нахождением корней. Если есть какие-то вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь задавать!
