вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=х² и у=2х+ 3
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \) и \( y = 2x + 3 \), мы будем следовать следующим шагам:
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых
Сначала нужно определить, где графики этих уравнений пересекаются. Для этого приравняем правые части уравнений:
\[ x^2 = 2x + 3 \]
Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду
Переносим все термы на одну сторону:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1, b = -2, c = -3 \).
Подставляем значения в формулу:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Теперь найдем корни:
- \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \)
Мы нашли точки пересечения: \( x = -1 \) и \( x = 3 \).
Шаг 4: Определим функцию для площади
Чтобы найти площадь между кривыми, нужно интегрировать разность функций в пределах от \( x = -1 \) до \( x = 3 \).
Так как \( y = 2x + 3 \) выше \( y = x^2 \) в данных интервалах, площадь \( S \) можно выразить следующим образом:
\[ S = \int_{-1}^{3} ((2x + 3) - (x^2)) \, dx \]
Шаг 5: Вычислим интеграл
Упрощаем подынтегральное выражение:
\[ S = \int_{-1}^{3} (2x + 3 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx \]
Теперь найдём неопределённый интеграл:
\[ \int (-x^2 + 2x + 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + C \]
Шаг 6: Подставляем пределы интегрирования
Теперь подставим пределы интегрирования от \(-1\) до \(3\):
\[ S = \left[-\frac{(3)^3}{3} + (3)^2 + 3(3)\right] - \left[-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1)\right] \]
Вычислим значения:
Для \( x = 3 \):
\[ -\frac{27}{3} + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9 \]
Для \( x = -1 \):
\[ -\frac{-1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3} \]
Теперь вычислим:
\[ S = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27}{3} + \frac{5}{3} = \frac{32}{3} \]
Шаг 7: Ответ
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна:
\[ S = \frac{32}{3} \]
Вывод: По данным вычислениям, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \) и \( y = 2x + 3 \), составляет \( \frac{32}{3} \) квадратных единиц.
