Давайте пошагово разберем каждую из задач. Для решения будем использовать уравнение состояния идеального газа и понятия из термодинамики.
Задача 11
Дано:
- Количество молекул в 1 см³ = (1,0 \times 10^5)
- Температура (T = 87°C)
Переводим температуру в Кельвины:
[
T(K) = 87 + 273.15 = 360.15 , K
]
Используем формулу для давления идеального газа:
[
P = \frac{nRT}{V}
]
где:
- (P) — давление,
- (n) — количество молей газа,
- (R) — универсальная газовая постоянная (R \approx 8.31 , \text{Дж/(моль·K)}),
- (T) — температура в Кельвинах,
- (V) — объем в кубических метрах.
Найдем количество молей газа в 1 см³ (или (10^{-6} , m³)):
Сначала найдем (n), используя количество молекул. Число Авогадро (N_A \approx 6.022 \times 10^{23} , \text{молекул/моль}).
[
n = \frac{N}{N_A} = \frac{1,0 \times 10^5}{6.022 \times 10^{23}} \approx 1.66 \times 10^{-19} , \text{моль}
]
Теперь подставляем в формулу давление в 1 см³ (или (10^{-6} , \text{м³})):
[
P = \frac{1.66 \times 10^{-19} \times 8.31 \times 360.15}{1 \times 10^{-6}} \approx 4.06 , \text{Па}
]
Ответ: Давление газа составляет примерно 4.06 Па.
Задача 12
Дано:
- Температура (T = 27°C)
- Давление (P = 1,0 \times 10^5 , \text{Па})
Переводим температуру в Кельвины:
[
T = 27 + 273.15 = 300.15 , K
]
Теперь нам нужно найти (N) — число молекул в 1 см³ (или (10^{-6} , m³)):
Используем ту же формулу давления:
[
P = \frac{nRT}{V}
]
где (V = 10^{-6} , m³).
Сначала выразим (n):
[
n = \frac{PV}{RT}
]
Подставляем известные значения:
[
n = \frac{1,0 \times 10^5 \times 10^{-6}}{8.31 \times 300.15} \approx 0.004 , \text{моль}
]
Теперь, чтобы найти количество молекул:
[
N = n \cdot N_A = 0.004 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.4 \times 10^{21} , \text{молекул}
]
Теперь, чтобы найти количество молекул на единицу объема:
[
N_{1 , cm^3} = N = 2.4 \times 10^{21}
]
Ответ: Чтобы давление газа равнялось (1,0 \times 10^5 , \text{Па}) при температуре (27°C), должно приходиться (2.4 \times 10^{21}) молекул на 1 см³.
Задача 13
Дано:
- Объем сосуда (V = 480 , \text{см}^3)
- Температура (T = 20°C)
- Давление (P = 2,50 \times 10^4 , \text{Па})
Переводим объем в кубические метры:
[
V = 480 \times 10^{-6} , m^3
]
Переводим температуру в Кельвины:
[
T = 20 + 273.15 = 293.15 , K
]
Теперь находим (n):
[
n = \frac{PV}{RT} = \frac{(2,50 \times 10^4)(480 \times 10^{-6})}{8.31 \times 293.15} \approx 0.49 , \text{моль}
]
Теперь находим количество молекул:
[
N = n \cdot N_A = 0.49 \cdot 6.022 \times 10^{23} \approx 2.95 \times 10^{23} , \text{молекул}
]
Ответ: В сосуде вместимостью 480 см³ при температуре 20°C и давлении (2,50 \times 10^4 , \text{Па}) находится примерно (2.95 \times 10^{23}) молекул газа.
