Для решения задачи найдем знаменатель геометрической прогрессии, используя известные значения первого и пятого членов.
Шаг 1: Понимание формулы геометрической прогрессии.
В геометрической прогрессии каждый следующий член находится путем умножения предыдущего члена на постоянный коэффициент, который называется знаменателем (обозначим его как ( q )). Формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
[
b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}
]
где:
- ( b_n ) — n-ый член прогрессии,
- ( b_1 ) — первый член прогрессии,
- ( q ) — знаменатель прогрессии,
- ( n ) — номер члена прогрессии.
Шаг 2: Записать уравнения для известных членов.
Дано:
- ( b_1 = 3 )
- ( b_5 = 243 )
Теперь воспользуемся формулой прогрессии для этих членов:
Для первого члена:
[
b_1 = 3
]
Для пятого члена:
[
b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)} = 3 \cdot q^4
]
Мы знаем, что ( b_5 = 243 ), подставим это значение в уравнение:
[
3 \cdot q^4 = 243
]
Шаг 3: Найти ( q^4 ).
Чтобы найти ( q^4 ), разделим обе стороны уравнения на 3:
[
q^4 = \frac{243}{3}
]
Рассчитаем правую часть:
[
q^4 = 81
]
Шаг 4: Найти ( q ).
Теперь нам нужно извлечь четвертую степень корня из 81:
[
q = 81^{1/4}
]
Для вычисления ( 81^{1/4} ) вспомним, что ( 81 = 3^4 ):
[
q = (3^4)^{1/4} = 3^{(4/4)} = 3^1 = 3
]
Ответ:
Знаменатель геометрической прогрессии равен ( q = 3 ).
