Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b1=3, b5=243
Для решения задачи найдем знаменатель геометрической прогрессии, используя известные значения первого и пятого членов.
Шаг 1: Понимание формулы геометрической прогрессии.
В геометрической прогрессии каждый следующий член находится путем умножения предыдущего члена на постоянный коэффициент, который называется знаменателем (обозначим его как \( q \)). Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \]
где:
- \( b_n \) — n-ый член прогрессии,
- \( b_1 \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель прогрессии,
- \( n \) — номер члена прогрессии.
Шаг 2: Записать уравнения для известных членов.
Дано:
- \( b_1 = 3 \)
- \( b_5 = 243 \)
Теперь воспользуемся формулой прогрессии для этих членов:
Для первого члена: \[ b_1 = 3 \]
Для пятого члена: \[ b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)} = 3 \cdot q^4 \]
Мы знаем, что \( b_5 = 243 \), подставим это значение в уравнение:
\[ 3 \cdot q^4 = 243 \]
Шаг 3: Найти \( q^4 \).
Чтобы найти \( q^4 \), разделим обе стороны уравнения на 3:
\[ q^4 = \frac{243}{3} \]
Рассчитаем правую часть:
\[ q^4 = 81 \]
Шаг 4: Найти \( q \).
Теперь нам нужно извлечь четвертую степень корня из 81:
\[ q = 81^{1/4} \]
Для вычисления \( 81^{1/4} \) вспомним, что \( 81 = 3^4 \):
\[ q = (3^4)^{1/4} = 3^{(4/4)} = 3^1 = 3 \]
Ответ:
Знаменатель геометрической прогрессии равен \( q = 3 \).
