Чтобы найти ( \cos \angle ABC ) в треугольнике ( ABC ), мы можем использовать закон косинусов, который утверждает, что:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C
]
где ( c ) — сторона противоположная углу ( C ), ( a ) и ( b ) — остальные стороны треугольника. В нашем случае:
- ( AB = c = 6 )
- ( BC = a = 10 )
- ( AC = b = 9 )
Найдем ( \cos \angle ABC ), которая соответствует углу ( C ).
По закону косинусов для треугольника ( ABC ) имеем:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ABC
]
Подставляем известные значения:
[
6^2 = 9^2 + 10^2 - 2 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \cos \angle ABC
]
Теперь считаем квадратные значения:
[
36 = 81 + 100 - 180 \cdot \cos \angle ABC
]
Сложим значения на правой стороне:
[
36 = 181 - 180 \cdot \cos \angle ABC
]
Теперь изолируем ( \cos \angle ABC ):
[
180 \cdot \cos \angle ABC = 181 - 36
]
[
180 \cdot \cos \angle ABC = 145
]
Теперь делим обе стороны на 180:
[
\cos \angle ABC = \frac{145}{180}
]
Эту дробь нужно привести к несократимому виду. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 145 и 180.
145 делится на 5 (145 = 5 * 29), а 180 делится на 5 (180 = 5 * 36). Таким образом, НОД 145 и 180 равен 5.
Делим числитель и знаменатель на 5:
[
\cos \angle ABC = \frac{145 \div 5}{180 \div 5} = \frac{29}{36}
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
\cos \angle ABC = \frac{29}{36}
]
Это и есть искомый результат!
