В треугольнике АВС известно, что АВ = 6, BC = 10, AC = 9. Найди cos L ABC. (В ответе запиши несократимую дробь.)

Чтобы найти \( \cos \angle ABC \) в треугольнике \( ABC \), мы можем использовать закон косинусов, который утверждает, что:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \]

где \( c \) — сторона противоположная углу \( C \), \( a \) и \( b \) — остальные стороны треугольника. В нашем случае:

• \( AB = c = 6 \)
• \( BC = a = 10 \)
• \( AC = b = 9 \)

Найдем \( \cos \angle ABC \), которая соответствует углу \( C \).

По закону косинусов для треугольника \( ABC \) имеем:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \]

Подставляем известные значения:

\[ 6^2 = 9^2 + 10^2 - 2 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \cos \angle ABC \]

Теперь считаем квадратные значения:

\[ 36 = 81 + 100 - 180 \cdot \cos \angle ABC \]

Сложим значения на правой стороне:

\[ 36 = 181 - 180 \cdot \cos \angle ABC \]

Теперь изолируем \( \cos \angle ABC \):

\[ 180 \cdot \cos \angle ABC = 181 - 36 \]

\[ 180 \cdot \cos \angle ABC = 145 \]

Теперь делим обе стороны на 180:

\[ \cos \angle ABC = \frac{145}{180} \]

Эту дробь нужно привести к несократимому виду. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 145 и 180.

145 делится на 5 (145 = 5 * 29), а 180 делится на 5 (180 = 5 * 36). Таким образом, НОД 145 и 180 равен 5.

Делим числитель и знаменатель на 5:

\[ \cos \angle ABC = \frac{145 \div 5}{180 \div 5} = \frac{29}{36} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \cos \angle ABC = \frac{29}{36} \]

Это и есть искомый результат!