Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: a) y = x ^ 2 ; y = 0 a = 1 ; b = 2 6) y = x ^ 2 y = 0 a = 0 ; b = 2 в) y = x ^ 2 ; y = 0 ; a = - 2 ; b = - 1
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, мы будем использовать определённый интеграл. Площадь под кривой может быть найдена по формуле:
\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
где \( f(x) \) — функция, определяющая верхнюю границу (в нашем случае это \( y = x^2 \)), а \( [a, b] \) — интервал, на котором мы будем интегрировать.
Рассмотрим каждую из задач по очереди.
Задача a)
Функции:
- \( y = x^2 \)
- \( y = 0 \) (ось абсцисс)
- Интервал: от \( a = 1 \) до \( b = 2 \)
Шаги решения:
- Записываем определённый интеграл:
\[ S = \int_{1}^{2} x^2 \, dx \]
- Находим первообразную функции \( x^2 \):
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
- Подставляем пределы интегрирования:
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции в задаче a) равна \( \frac{7}{3} \).
Задача b)
Функции:
- \( y = x^2 \)
- \( y = 0 \)
- Интервал: от \( a = 0 \) до \( b = 2 \)
Шаги решения:
- Записываем определённый интеграл:
\[ S = \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
- Находим первообразную функции \( x^2 \):
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
- Подставляем пределы интегрирования:
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции в задаче b) равна \( \frac{8}{3} \).
Задача в)
Функции:
- \( y = x^2 \)
- \( y = 0 \)
- Интервал: от \( a = -2 \) до \( b = -1 \)
Шаги решения:
- Записываем определённый интеграл:
\[ S = \int_{-2}^{-1} x^2 \, dx \]
- Находим первообразную функции \( x^2 \):
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
- Подставляем пределы интегрирования:
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{-1} = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{-1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{-1 + 8}{3} = \frac{7}{3} \]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции в задаче в) равна \( \frac{7}{3} \).
Ответы:
- Задача a): \( S = \frac{7}{3} \)
- Задача b): \( S = \frac{8}{3} \)
- Задача в): \( S = \frac{7}{3} \)
