Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, мы будем использовать определённый интеграл. Площадь под кривой может быть найдена по формуле:
[
S = \int_{a}^{b} f(x) , dx
]
где ( f(x) ) — функция, определяющая верхнюю границу (в нашем случае это ( y = x^2 )), а ( [a, b] ) — интервал, на котором мы будем интегрировать.
Рассмотрим каждую из задач по очереди.
Задача a)
Функции:
- ( y = x^2 )
- ( y = 0 ) (ось абсцисс)
- Интервал: от ( a = 1 ) до ( b = 2 )
Шаги решения:
- Записываем определённый интеграл:
[
S = \int_{1}^{2} x^2 , dx
]
- Находим первообразную функции ( x^2 ):
[
\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C
]
- Подставляем пределы интегрирования:
[
S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}
]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции в задаче a) равна ( \frac{7}{3} ).
Задача b)
Функции:
- ( y = x^2 )
- ( y = 0 )
- Интервал: от ( a = 0 ) до ( b = 2 )
Шаги решения:
- Записываем определённый интеграл:
[
S = \int_{0}^{2} x^2 , dx
]
- Находим первообразную функции ( x^2 ):
[
\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C
]
- Подставляем пределы интегрирования:
[
S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}
]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции в задаче b) равна ( \frac{8}{3} ).
Задача в)
Функции:
- ( y = x^2 )
- ( y = 0 )
- Интервал: от ( a = -2 ) до ( b = -1 )
Шаги решения:
- Записываем определённый интеграл:
[
S = \int_{-2}^{-1} x^2 , dx
]
- Находим первообразную функции ( x^2 ):
[
\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C
]
- Подставляем пределы интегрирования:
[
S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{-1} = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{-1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{-1 + 8}{3} = \frac{7}{3}
]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции в задаче в) равна ( \frac{7}{3} ).
Ответы:
- Задача a): ( S = \frac{7}{3} )
- Задача b): ( S = \frac{8}{3} )
- Задача в): ( S = \frac{7}{3} )
