5. В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен b, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: а) b = 10, ∠B = 45°; б) b =15, ∠B=…

Решим задачу по поводу прямоугольных треугольников, используя тригонометрические функции. В прямоугольном треугольнике у нас есть один катет \(b\) и противолежащий угол \(B\). Для нахождения другого катета и гипотенузы мы будем использовать синус и косинус.

Определения

1. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен 90°.
2. Катеты — это дваSides, которые составляют прямой угол.
3. Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу и является самой длинной стороной.
4. Противолежащий катет — это катет, который противостоит данному углу.

Формулы

1. \( \sin(B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
2. \( \cos(B) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

Используя эти формулы, мы можем находить катеты и гипотенузу.

Решение

а) \(b = 10, \angle B = 45°\)

1. Находим гипотенузу \(c\):
   \[ \sin(45°) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin(45°)} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \]

2. Находим другой катет \(a\):
   \[ \cos(45°) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \cos(45°) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \]

Ответ (а): Другой катет \(a = 10\), гипотенуза \(c = 10\sqrt{2}\).

б) \(b = 15, \angle B = 60°\)

1. Находим гипотенузу \(c\):
   \[ \sin(60°) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin(60°)} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10\sqrt{3} \]

2. Находим другой катет \(a\):
   \[ \cos(60°) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \cos(60°) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3} \]

Ответ (б): Другой катет \(a = 5\sqrt{3}\), гипотенуза \(c = 10\sqrt{3}\).

в) \(b = 3\sqrt{3}, \angle B = 30°\)

1. Находим гипотенузу \(c\):
   \[ \sin(30°) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin(30°)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{3} \]

2. Находим другой катет \(a\): \[ \cos(30°) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \cos(30°) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \]

Ответ (в): Другой катет \(a = 9\), гипотенуза \(c = 6\sqrt{3}\).

В итоге, для каждого случая мы нашли другой катет и гипотенузу. Надеюсь, теперь задача понятна! Если есть вопросы, не стесняйтесь задавать.