Реши
Для решения системы уравнений в каждом из пунктов задачи 19, мы можем применить методы подстановки или алгебраические преобразования.
a) Система уравнений:
\[ \begin{cases} xy(x+y) = 30, \\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases} \]
Шаги решения:
Первое уравнение: \(xy(x+y) = 30\).
Это уравнение можно переписать в виде: \[ z = xy, \quad z(x+y) = 30. \] Обозначим \(s = x+y\), тогда \(zs = 30\), отсюда: \[ z = \frac{30}{s}. \]
Второе уравнение: \(x^3 + y^3 = 35\).
Помним, что \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = s(s^2 - 3z)\).
Таким образом, \(s(s^2 - 3z) = 35\).
Подставим \(z = \frac{30}{s}\) во второе уравнение:
\[ s\left(s^2 - 3\cdot\frac{30}{s}\right) = 35 \]
После упрощения получаем:
\[ s^3 - 90 = 35 \]
\[ s^3 = 125 \]
\[ s = 5 \]
Определим \(z\):
Подставим значение \(s = 5\) в уравнение \(z = \frac{30}{s}\):
\[ z = \frac{30}{5} = 6 \]
Решим систему для \(x\) и \(y\):
Теперь решаем систему:
\[ \begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} \]
Решается как квадратное уравнение:
\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \]
Найдем корни:
\[ t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 6}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
\[ t_1 = 3, \quad t_2 = 2 \]
Таким образом, \(x = 3\), \(y = 2\) или наоборот.
b) Система уравнений:
\[ \begin{cases} 3x^2 - 8xy + 4y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 + 13(x-y) = 0. \end{cases} \]
Шаги решения:
Первое уравнение:
Воспользуемся возможностью преобразования:
\(3x^2 - 8xy + 4y^2 = 0\)
Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно \(x\) или \(y\).
\((3x - 4y)(x - y) = 0\).
Решаем:
\[ x = \frac{4}{3}y \quad \text{или} \quad x = y. \]
Подставим в второе уравнение:
i) Если \(x = \frac{4}{3}y\):
\[ \left(\frac{4}{3}y\right)^2 + y^2 + 13\left(\frac{4}{3}y - y \right) = 0 \]
\[ \frac{16}{9}y^2 + y^2 + 13\left(\frac{1}{3}y\right) = 0 \]
\[ \frac{25}{9}y^2 + \frac{13}{3}y = 0 \]
\[ y\left(\frac{25}{9}y + \frac{13}{3}\right) = 0 \]
\[ y = 0 \quad \text{или} \quad \frac{25}{9}y + \frac{13}{3} = 0 \]
\[ \frac{25}{9}y = -\frac{13}{3} \]
\[ y = -\frac{39}{25}, \quad x = \frac{4}{3}\left(-\frac{39}{25}\right) = -\frac{52}{25} \]
ii) Если \(x = y\):
\[ 2x^2 + 13(x-x) = 0 \]
\[ 2x^2 = 0 \]
\[ x = 0, \quad y = 0 \]
Таким образом, решения для системы уравнений:
- В первом уравнении: \((x, y) = (3, 2)\) и \((x, y) = (2, 3)\).
- Во втором: \((x, y) = (0, 0)\) и \((x, y) = \left(-\frac{52}{25}, -\frac{39}{25}\right)\).
