Найти sina, tga, sin2a, cos2ox, если$\cos \alpha = - \frac {9} {41}$и$\frac { \pi } {2} < \alpha < \pi$

Для данной задачи нам нужно найти значения тригонометрических функций \( \sin \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \), если известно, что \( \cos \alpha = -\frac{9}{41} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). ### Шаг 1: Найдем \( \sin \alpha \) Так как \( \alpha \) находится во втором квадранте (где косинус отрицательный и синус положительный), мы можем воспользоваться основным тригонометрическим идентификатором: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим известное значение: \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{9}{41}\right)^2 = 1 \] Решим уравнение: \[ \sin^2 \alpha + \frac{81}{1681} = 1 \] Переносим \( \frac{81}{1681} \) на правую сторону: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{81}{1681} \] Чтобы вычесть дроби, найдем общий знаменатель: \[ \sin^2 \alpha = \frac{1681}{1681} - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681} \] Теперь извлечём квадратный корень: \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41} \] Так как \( \alpha \) во втором квадранте, синус позитивный: \[ \sin \alpha = \frac{40}{41} \] ### Шаг 2: Найдем \( \tan \alpha \) Для нахождения тангенса используем формулу: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Подставим найденные значения: \[ \tan \alpha = \frac{\frac{40}{41}}{-\frac{9}{41}} = -\frac{40}{9} \] ### Шаг 3: Найдем \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \) Используем формулы удвоенного угла: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] Подставим наши значения: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{40}{41} \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) \] Вычислим: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{40 \cdot (-9)}{41^2} = \frac{-720}{1681} \] Теперь найдём \( \cos 2\alpha \): \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \] Используем найденные ранее значения: \[ \cos 2\alpha = \left(-\frac{9}{41}\right)^2 - \left(\frac{40}{41}\right)^2 \] Обратим внимание, что: \[ \cos 2\alpha = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} \] Таким образом: \[ \cos 2\alpha = \frac{81 - 1600}{1681} = \frac{-1519}{1681} \] ### Результаты - \( \sin \alpha = \frac{40}{41} \) - \( \tan \alpha = -\frac{40}{9} \) - \( \sin 2\alpha = \frac{-720}{1681} \) - \( \cos 2\alpha = \frac{-1519}{1681} \) Теперь вы знаете, как находить значения тригонометрических функций для заданного угла? Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!