найти sina, tga, sin2a, cos2ox, если$\cos \alpha = - \frac {9} {41}$и$\frac { \pi } {2} < \alpha < \pi$
Для данной задачи нам нужно найти значения тригонометрических функций \( \sin \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \), если известно, что \( \cos \alpha = -\frac{9}{41} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).
Шаг 1: Найдем \( \sin \alpha \)
Так как \( \alpha \) находится во втором квадранте (где косинус отрицательный и синус положительный), мы можем воспользоваться основным тригонометрическим идентификатором:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Подставим известное значение:
\[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{9}{41}\right)^2 = 1 \]
Решим уравнение:
\[ \sin^2 \alpha + \frac{81}{1681} = 1 \]
Переносим \( \frac{81}{1681} \) на правую сторону:
\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{81}{1681} \]
Чтобы вычесть дроби, найдем общий знаменатель:
\[ \sin^2 \alpha = \frac{1681}{1681} - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681} \]
Теперь извлечём квадратный корень:
\[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41} \]
Так как \( \alpha \) во втором квадранте, синус позитивный:
\[ \sin \alpha = \frac{40}{41} \]
Шаг 2: Найдем \( \tan \alpha \)
Для нахождения тангенса используем формулу:
\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
Подставим найденные значения:
\[ \tan \alpha = \frac{\frac{40}{41}}{-\frac{9}{41}} = -\frac{40}{9} \]
Шаг 3: Найдем \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \)
Используем формулы удвоенного угла:
\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]
Подставим наши значения:
\[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{40}{41} \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) \]
Вычислим:
\[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{40 \cdot (-9)}{41^2} = \frac{-720}{1681} \]
Теперь найдём \( \cos 2\alpha \):
\[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \]
Используем найденные ранее значения:
\[ \cos 2\alpha = \left(-\frac{9}{41}\right)^2 - \left(\frac{40}{41}\right)^2 \]
Обратим внимание, что:
\[ \cos 2\alpha = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} \]
Таким образом:
\[ \cos 2\alpha = \frac{81 - 1600}{1681} = \frac{-1519}{1681} \]
Результаты
- \( \sin \alpha = \frac{40}{41} \)
- \( \tan \alpha = -\frac{40}{9} \)
- \( \sin 2\alpha = \frac{-720}{1681} \)
- \( \cos 2\alpha = \frac{-1519}{1681} \)
Теперь вы знаете, как находить значения тригонометрических функций для заданного угла? Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
Обсуждение
2 сообщения6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: • a) 2sin²x = 1 • б) 2cos²x + cosx - 3 = 0 • в) 3tg²x + tgx - 2 = 0 • г) 2cos²x + 3sinx = 0
Давайте решим каждое из уравнений, сводящихся к квадратным.
а) \( 2\sin^2 x = 1 \)
- Разделим обе стороны на 2:
\[ \sin^2 x = \frac{1}{2} \]
- Извлечем квадратный корень:
\[ \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]
- Найдем углы:
Для \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Для \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
б) \( 2\cos^2 x + \cos x - 3 = 0 \)
- Обозначим \( y = \cos x \), уравнение примет вид:
\[ 2y^2 + y - 3 = 0 \]
- Решим это квадратное уравнение по формуле:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} \]
- Найдем корни:
- \( y_1 = \frac{4}{4} = 1 \)
- \( y_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \) (недопустимый корень для \( \cos x \))
- Теперь найдём углы для \( \cos x = 1 \):
\[ x = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
в) \( 3\tan^2 x + \tan x - 2 = 0 \)
- Обозначим \( y = \tan x \), тогда уравнение становится:
\[ 3y^2 + y - 2 = 0 \]
- Используем формулу корней:
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6} \]
- Найдем корни:
- \( y_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- \( y_2 = \frac{-6}{6} = -1 \)
- Теперь находим углы:
Для \( \tan x = \frac{2}{3} \): \[ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Для \( \tan x = -1 \): \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
г) \( 2\cos^2 x + 3\sin x = 0 \)
- Поскольку \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), преобразуем уравнение:
\[ 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 0 \Rightarrow 2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 0 \]
- Упорядочим его:
\[ -2\sin^2 x + 3\sin x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0 \]
- Обозначим \( y = \sin x \):
\[ 2y^2 - 3y - 2 = 0 \]
- Найдем корни:
\[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \]
- Находим корни:
- \( y_1 = \frac{8}{4} = 2 \) (недопустимый корень для \( \sin x \))
- \( y_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
- Теперь найдем углы для \( \sin x = -\frac{1}{2} \):
\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Ответы:
- а) \( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \) (для \( k \in \mathbb{Z} \))
- б) \( x = 2k\pi \) (для \( k \in \mathbb{Z} \))
- в) \( x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \) (для \( k \in \mathbb{Z} \))
- г) \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \) (для \( k \in \mathbb{Z} \))
