Конечно, вот 6 задание из контрольной работы, переписанное для большей ясности: 6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: • a) 2sin²x = 1 • б) 2cos²x + cosx - 3 = 0 • в) 3tg²x + tgx - 2 = 0 • г) 2cos²x + 3sinx = 0

Решим каждое из предложенных уравнений по порядку, объясняя каждый шаг с подробными комментариями. ### a) \( 2\sin^2{x} = 1 \) 1. **Перепишем уравнение:** \[ \sin^2{x} = \frac{1}{2} \] 2. **Извлечение корня:** \[ \sin{x} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] 3. **Определим углы:** Зная, что \(\sin{x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), мы можем найти углы: - \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) (первый квадрант) - \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) (второй квадрант) - \(x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\) (третий квадрант) - \(x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\) (четвёртый квадрант) Где \(k\) — любое целое число. ### б) \( 2\cos^2{x} + \cos{x} - 3 = 0 \) 1. **Преобразуем уравнение:** Обозначим \(y = \cos{x}\). Тогда уравнение примет вид: \[ 2y^2 + y - 3 = 0 \] 2. **Решим квадратное уравнение:** Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -3\): \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} \] Это даёт два корня: - \(y_1 = 1\) - \(y_2 = -\frac{3}{2}\) (этот корень не подходит, так как \(-\frac{3}{2} < -1\)) 3. **Найдем углы:** Из уравнения \( \cos{x} = 1 \): \[ x = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] ### в) \( 3\tan^2{x} + \tan{x} - 2 = 0 \) 1. **Обозначим \(y = \tan{x}\):** Получаем квадратное уравнение: \[ 3y^2 + y - 2 = 0 \] 2. **Находим корни:** Используем формулу корней: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6} \] В результате: - \(y_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) - \(y_2 = \frac{-6}{6} = -1\) 3. **Находим углы:** - \( \tan{x} = \frac{2}{3} \): \[ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi \] - \( \tan{x} = -1 \): \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \] ### г) \( 2\cos^2{x} + 3\sin{x} = 0 \) 1. **Выразим \( \cos^2{x} \) через \( \sin{x} \):** Используя единичную трёхгранную идентичность: \[ \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} \] Подставляем в уравнение: \[ 2(1 - \sin^2{x}) + 3\sin{x} = 0 \] 2. **Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:** \[ 2 - 2\sin^2{x} + 3\sin{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad -2\sin^2{x} + 3\sin{x} + 2 = 0 \] Умножим на \(-1\) для удобства: \[ 2\sin^2{x} - 3\sin{x} - 2 = 0 \] 3. **Находим корни уравнения:** Обозначив \(y = \sin{x}\): \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \] Это даёт два корня: - \(y_1 = 2\) (не подходит, так как \(\sin{x} \leq 1\)) - \(y_2 = -\frac{1}{2}\) 4. **Находим углы:** Из уравнения \( \sin{x} = -\frac{1}{2} \): \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] ### Ответы: - a) \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \) - б) \( x = 2k\pi \) - в) \( x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi \) и \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \) - г) \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \) и \( x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \) Надеюсь, это помогло вам понять, как решать подобные уравнения! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.