Конечно, вот 6 задание из контрольной работы, переписанное для большей ясности: 6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: • a) 2sin²x = 1 • б) 2cos²x + cosx - 3 = 0 • в) 3tg²x…

Решим каждое из предложенных уравнений по порядку, объясняя каждый шаг с подробными комментариями.

a) \( 2\sin^2{x} = 1 \)

1. Перепишем уравнение: \[ \sin^2{x} = \frac{1}{2} \]

2. Извлечение корня: \[ \sin{x} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

3. Определим углы: Зная, что \(\sin{x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), мы можем найти углы:

   • \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) (первый квадрант)
   • \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) (второй квадрант)
   • \(x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\) (третий квадрант)
   • \(x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\) (четвёртый квадрант)

Где \(k\) — любое целое число.

б) \( 2\cos^2{x} + \cos{x} - 3 = 0 \)

1. Преобразуем уравнение: Обозначим \(y = \cos{x}\). Тогда уравнение примет вид: \[ 2y^2 + y - 3 = 0 \]

2. Решим квадратное уравнение: Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -3\): \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} \]

   Это даёт два корня:

   • \(y_1 = 1\)
   • \(y_2 = -\frac{3}{2}\) (этот корень не подходит, так как \(-\frac{3}{2} < -1\))

3. Найдем углы: Из уравнения \( \cos{x} = 1 \): \[ x = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

в) \( 3\tan^2{x} + \tan{x} - 2 = 0 \)

1. Обозначим \(y = \tan{x}\): Получаем квадратное уравнение: \[ 3y^2 + y - 2 = 0 \]

2. Находим корни: Используем формулу корней: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6} \] В результате:

   • \(y_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
   • \(y_2 = \frac{-6}{6} = -1\)

3. Находим углы:

   • \( \tan{x} = \frac{2}{3} \): \[ x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi \]
   • \( \tan{x} = -1 \): \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \]

г) \( 2\cos^2{x} + 3\sin{x} = 0 \)

1. Выразим \( \cos^2{x} \) через \( \sin{x} \): Используя единичную трёхгранную идентичность: \[ \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} \] Подставляем в уравнение: \[ 2(1 - \sin^2{x}) + 3\sin{x} = 0 \]

2. Раскроем скобки и приведем к стандартному виду: \[ 2 - 2\sin^2{x} + 3\sin{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad -2\sin^2{x} + 3\sin{x} + 2 = 0 \] Умножим на \(-1\) для удобства: \[ 2\sin^2{x} - 3\sin{x} - 2 = 0 \]

3. Находим корни уравнения: Обозначив \(y = \sin{x}\): \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \] Это даёт два корня:

   • \(y_1 = 2\) (не подходит, так как \(\sin{x} \leq 1\))
   • \(y_2 = -\frac{1}{2}\)

4. Находим углы: Из уравнения \( \sin{x} = -\frac{1}{2} \): \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Ответы:

• a) \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)
• б) \( x = 2k\pi \)
• в) \( x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi \) и \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \)
• г) \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \) и \( x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \)

Надеюсь, это помогло вам понять, как решать подобные уравнения! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.