Давайте решим задачу с помощью системы линейных уравнений.
Обозначим:
- ( x ) — цена за 1 кг апельсинов (в рублях).
- ( y ) — цена за 1 кг лимонов (в рублях).
Согласно условию задачи, мы имеем следующие уравнения:
Из первого уравнения:
За 7 кг апельсинов и 4 кг лимонов заплатили 1005 рублей:
[
7x + 4y = 1005 \quad (1)
]
Из второго уравнения:
5 кг апельсинов дороже 2 кг лимонов на 135 рублей:
[
5x = 2y + 135 \quad (2)
]
Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными.
Шаг 1: Преобразуем уравнение (2)
Выразим ( y ) через ( x ) из уравнения (2):
[
5x - 135 = 2y
]
[
y = \frac{5x - 135}{2} \quad (3)
]
Шаг 2: Подставим (3) в (1)
Подставим выражение для ( y ) из уравнения (3) в уравнение (1):
[
7x + 4\left(\frac{5x - 135}{2}\right) = 1005
]
Упрощаем это уравнение:
[
7x + 2(5x - 135) = 1005
]
[
7x + 10x - 270 = 1005
]
[
17x - 270 = 1005
]
[
17x = 1005 + 270
]
[
17x = 1275
]
[
x = \frac{1275}{17} = 75
]
Теперь, зная ( x ), найдем ( y ):
Шаг 3: Найдем ( y )
Подставим значение ( x = 75 ) в уравнение (3):
[
y = \frac{5(75) - 135}{2}
]
[
y = \frac{375 - 135}{2}
]
[
y = \frac{240}{2} = 120
]
Ответ
Таким образом, мы нашли:
- Цена 1 кг апельсинов ( x = 75 ) рублей,
- Цена 1 кг лимонов ( y = 120 ) рублей.
Проверка
Давайте проверим, удовлетворяет ли наше решение обоим уравнениям.
Подставим в первое уравнение:
[
7(75) + 4(120) = 525 + 480 = 1005 \quad \text{(верно)}
]
Подставим во второе уравнение:
[
5(75) = 2(120) + 135
]
[
375 = 240 + 135 \quad \text{(верно)}
]
Таким образом, все условия выполнены, и наше решение правильное.
