Реши задачу
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим трехзначное число как \(\overline{abc}\), где \(a, b, c\) — его цифры. То есть число записывается как \(100a + 10b + c\).
Требования:
- Число делится на 7, значит \(\overline{abc} \equiv 0 \pmod{7}\).
- Последняя цифра не равна нулю, значит \(c \neq 0\).
Из обратного числа \(\overline{cba} = 100c + 10b + a\) получили число 792.
Определяем из стройки уравнений:
- \(\overline{cba} = 100c + 10b + a = 792\).
Теперь нужно решить систему уравнений:
\[ 100c + 10b + a = 792 \] \[ 100a + 10b + c \equiv 0 \pmod{7} \]
Рассмотрим общее решение.
Поскольку \(\overline{cba} = 792\), то:
\(100c + 10b + a = 792\).
Переберем значения \(c\) от 1 до 9, чтобы \(a\) и \(b\) были целыми.
Так как \(c = 7\) минимально, проверяем:
\[100\cdot7 + 10b + a = 792\]
\[700 + 10b + a = 792\]
\[10b + a = 92\]
Так как \(b = 9\), то \(a = 2\).
Теперь проверим, делится ли число \(\overline{abc} = 100a + 10b + c = 100\cdot2 + 10\cdot9 + 7 = 297\) на 7:
\[297 \div 7 = 42\]
Остаток 0, значит делится нацело.
Ответ: 297.
