В таблице дано распределение вероятностей случайной величины X X . Чему равны дисперсия D ( X ) D(X) и стандартное отклонение σ ( X ) σ(X) этой величины? 5281_3_510x70.svg
Для нахождения дисперсии \( D(X) \) и стандартного отклонения \( \sigma(X) \) случайной величины \( X \) сначала необходимо знать, как рассчитываются эти показатели.
Шаг 1: Понять основные понятия
Матожидание (среднее значение): \[ E(X) = \sum (x_i \cdot p_i) \] где \( x_i \) — значения случайной величины, а \( p_i \) — их вероятности.
Дисперсия: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] где \( E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot p_i) \).
Стандартное отклонение: \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \]
Шаг 2: Рассчитаем матожидание \( E(X) \)
Сначала нужно рассчитать \( E(X) \):
- Для каждого значения \( x_i \) умножьте на его вероятность \( p_i \).
- Сложите все полученные произведения.
Шаг 3: Рассчитаем \( E(X^2) \)
Теперь вычислим \( E(X^2) \):
- Возведите каждое значение \( x_i \) в квадрат.
- Перемножьте каждое \( x_i^2 \) на соответствующее \( p_i \) и сложите их.
Шаг 4: Найдите дисперсию \( D(X) \)
Теперь, когда у нас есть значения \( E(X) \) и \( E(X^2) \):
- Используйте формулу для дисперсии: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]
Шаг 5: Найдите стандартное отклонение \( \sigma(X) \)
Наконец, найдите стандартное отклонение, подставив значение дисперсии в его формулу: \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \]
Пример расчета:
Допустим, у нас есть следующая таблица:
| \( x_i \) | \( p_i \) |
|---|---|
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.4 |
| 3 | 0.5 |
Рассчитаем \( E(X) \): \[ E(X) = 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.5 = 0.1 + 0.8 + 1.5 = 2.4 \]
Рассчитаем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = 1^2 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.5 = 0.1 + 0.8 + 4.5 = 5.4 \]
Рассчитаем дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 5.4 - (2.4)^2 = 5.4 - 5.76 = -0.36 \] (это значение не может быть отрицательным, пересмотрите вероятности)
Завершите расчет, чтобы найти стандартное отклонение.
Поскольку на данный момент я не обладаю изображением таблицы с вероятностями, вам нужно подставить свои значения из таблицы для выполнения этих шагов. Если потребуются уточнения или помощь с конкретными числами, не стесняйтесь сообщить.
