доказать, что(3×5⁶-24) делится нацело на 69

Для того чтобы доказать, что \(3 \times 5^6 - 24\) делится на 69, нужно проверить, делится ли данное выражение на 3 и на 23, так как 69 = 3 × 23. Мы применим теорему о делимости, называемую "критерием делимости".

Шаг 1: Проверка делимости на 3

Для проверки делимости на 3, нужно найти значение \(3 \times 5^6 - 24\) по модулю 3.

Сначала вычислим \(5^6\) по модулю 3:

\[ 5 \equiv 2 \mod 3 \] Так что: \[ 5^6 \equiv 2^6 \mod 3 \] Теперь вычислим \(2^6\): \[ 2^6 = 64 \quad \text{и} \quad 64 \mod 3 \equiv 1 \quad (\text{поскольку } 64 = 3 \times 21 + 1) \] Тогда: \[ 5^6 \equiv 1 \mod 3 \] Теперь подставим это значение в исходное выражение: \[ 3 \times 5^6 - 24 \equiv 3 \times 1 - 24 \mod 3 \] \[ 3 - 24 \equiv 0 \mod 3 \] Таким образом, \(3 \times 5^6 - 24\) делится на 3.

Шаг 2: Проверка делимости на 23

Теперь проверим делимость на 23. Для этого нужно найти \(3 \times 5^6 - 24\) по модулю 23. Сначала необходимо найти \(5^6\) по модулю 23.

Сначала вычислим: \[ 5^1 \equiv 5 \mod 23 \] \[ 5^2 \equiv 5 \times 5 = 25 \equiv 2 \mod 23 \] \[ 5^3 \equiv 5 \times 2 = 10 \mod 23 \] \[ 5^4 \equiv 5 \times 10 = 50 \equiv 4 \mod 23 \] \[ 5^5 \equiv 5 \times 4 = 20 \mod 23 \] \[ 5^6 \equiv 5 \times 20 = 100 \equiv 8 \mod 23 \quad (\text{поскольку } 100 = 23 \times 4 + 8) \] Теперь подставим это значение в исходное выражение: \[ 3 \times 5^6 - 24 \equiv 3 \times 8 - 24 \mod 23 \] Вычислим: \[ 3 \times 8 = 24 \] Теперь: \[ 24 - 24 \equiv 0 \mod 23 \] Таким образом, \(3 \times 5^6 - 24\) делится на 23.

Заключение

Так как \(3 \times 5^6 - 24\) делится на 3 и на 23, значит, оно делится на 69:

\[ 3 \times 5^6 - 24 \equiv 0 \mod 69 \]

Таким образом, мы доказали, что \(3 \times 5^6 - 24\) делится нацело на 69.