В прямоугольном треугольнике ctg А равен 1/3. Найти sin А, cos A,tg A, sin B, cos B
Чтобы найти нужные тригонометрические функции, начнем с того, что в прямоугольном треугольнике:
- ctg A = 1/3 означает, что отношение прилежащего и противолежащего катетов к углу \( A \) равно 1/3.
Обозначим:
- \( \text{прилежащий катет к углу } A = x \)
- \( \text{противолежащий катет к углу } A = 3x \)
Так как треугольник прямоугольный, применим теорему Пифагора:
\[ (x)^2 + (3x)^2 = c^2 \]
\[ x^2 + 9x^2 = c^2 \]
\[ 10x^2 = c^2 \]
\[ c = \sqrt{10}x \]
Теперь найдем тригонометрические функции:
- \( \sin A \):
\[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3x}{\sqrt{10}x} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \]
- \( \cos A \):
\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{\sqrt{10}x} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \]
- \( \tan A \):
\[ \tan A = \frac{1}{\text{ctg A}} = \frac{1}{1/3} = 3 \]
Теперь рассчитаем тригонометрические функции для угла \( B \):
- \( \sin B = \cos A \) (так как углы дополняют до 90 градусов):
\[ \sin B = \frac{\sqrt{10}}{10} \]
- \( \cos B = \sin A \) (обратное к предыдущему):
\[ \cos B = \frac{3\sqrt{10}}{10} \]
Теперь мы нашли все необходимые тригонометрические значения.
