Задумали трёхзначное число, вторая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но первую и вторую цифру поменяли местами. Получили…
Задумали трёхзначное число, вторая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но первую и вторую цифру поменяли местами. Получили число 450. Найди все числа, большие 900 и обладающие таким свойством.
Для решения задачи начнем с обозначения трехзначного числа. Пусть это число имеет вид \( abc \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — цифры числа, а \( a \neq 0 \) (так как это трехзначное число), \( b \neq 0 \) (вторая цифра не равна нулю).
Давайте выразим это число в числовом формате:
\[ N_1 = 100a + 10b + c \]
Теперь запишем результат, после того как мы поменяли первую и вторую цифры местами:
\[ N_2 = 100b + 10a + c \]
По условию задачи, из первого числа вычитается второе и в результате мы получаем 450:
\[ N_1 - N_2 = 450 \]
Подставим выражения для \( N_1 \) и \( N_2 \):
\[ (100a + 10b + c) - (100b + 10a + c) = 450 \]
Упрощаем это уравнение:
\[ 100a + 10b + c - 100b - 10a - c = 450 \]
Сократив одинаковые члены \( c \) и упростив, получаем:
\[ 90a - 90b = 450 \]
Dividing both sides by 90, мы получаем:
\[ a - b = 5 \]
Это означает, что первая цифра \( a \) на 5 больше, чем вторая цифра \( b \). Теперь учтем, что \( a \) и \( b \) — цифры от 0 до 9, и \( b \) не равно 0. Возможные пары \( (a, b) \), учитывающие это условие, следующие:
- \( (5, 0) \) (невалидно, так как \( b \neq 0 \))
- \( (6, 1) \)
- \( (7, 2) \)
- \( (8, 3) \)
- \( (9, 4) \)
Это дает следующие возможные значения для нашей цифры \( c \):
- Для \( (6, 1) \): число может быть \( 610, 611, 612, 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 \).
- Для \( (7, 2) \): число может быть \( 720, 721, 722, 723, 724, 725, 726, 727, 728, 729 \).
- Для \( (8, 3) \): число может быть \( 830, 831, 832, 833, 834, 835, 836, 837, 838, 839 \).
- Для \( (9, 4) \): число может быть \( 940, 941, 942, 943, 944, 945, 946, 947, 948, 949 \).
Теперь, чтобы найти все числа, такие что они больше 900:
Из всех перечисленных наборов мы видим, что только число \( 940 \) и числа с \( a = 9 \) удовлетворяют условию \( a - b = 5 \):
- \( 940, 941, 942, 943, 944, 945, 946, 947, 948, 949 \)
Таким образом, все числа, которые больше 900 и обладают данным свойством, следующие:
\[ 940, 941, 942, 943, 944, 945, 946, 947, 948, 949 \]
В результате, ответ: 940, 941, 942, 943, 944, 945, 946, 947, 948, 949.
