Найдите вероятность того, что при семикратном бросании игрального кубика 6 очков выпадет не менее 4, но не более 5 раз. Ответ округлите до сотых.

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как мы проводим несколько независимых испытаний (бросаем кубики) и нас интересует количество "успехов" (выпадение шести).

Шаг 1: Определим параметры задачи.

• n (количество испытаний) = 7 (так как бросаем кубик 7 раз)
• p (вероятность "успеха", т.е. выпадения 6-ки на одном броске) = 1/6, так как кубик имеет 6 граней и только одна из них — шесть.
• k (количество успешных исходов, то есть выпадение шести) = 4 или 5.

Нам нужно найти вероятность того, что 6 выпадет не менее 4, но не более 5 раз (т.е. P(X=4) + P(X=5)).

Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения.

Формула для вероятности в биномиальном распределении выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p \) — вероятность успеха
• \( (1-p) \) — вероятность неуспеха

Шаг 3: Рассчитаем P(X=4) и P(X=5).

1. Вычислим P(X=4):

\[ P(X=4) = C(7, 4) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{7-4} \]

Вычислим биномиальный коэффициент:

\[ C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \]

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ P(X=4) = 35 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]

\[ = 35 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{125}{216} \]

\[ = 35 \cdot \frac{125}{27648} = \frac{4375}{27648} \approx 0.1582 \]

2. Вычислим P(X=5):

\[ P(X=5) = C(7, 5) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \]

Вычислим биномиальный коэффициент:

\[ C(7, 5) = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \]

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ P(X=5) = 21 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \]

\[ = 21 \cdot \frac{1}{7776} \cdot \frac{25}{36} \]

\[ = 21 \cdot \frac{25}{279936} = \frac{525}{279936} \approx 0.00188 \]

Шаг 4: Сложим оба результата для получения P(4 ≤ X ≤ 5):

\[ P(4 \leq X \leq 5) = P(X=4) + P(X=5) \approx 0.1582 + 0.00188 \approx 0.16008 \]

Шаг 5: Округлим до сотых.

Ответ:

\[ P(4 \leq X \leq 5) \approx 0.16 \]

Таким образом, вероятность того, что 6 очков выпадет не менее 4, но не более 5 раз, составляет примерно 0.16 (или 16%).