Вычислите косинус угла между векторами а{-4;5} и b{5;-4}
Чтобы вычислить косинус угла между двумя векторами, мы можем воспользоваться формулой:
\[ \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{||a|| \cdot ||b||} \]
где \( a \cdot b \) — это скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \), а \( ||a|| \) и \( ||b|| \) — это длины (модели) векторов \( a \) и \( b \) соответственно.
Давайте начнем с вычисления скалярного произведения и длин векторов.
Определение векторов:
- Вектор \( a = \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix} \)
- Вектор \( b = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} \)
Скалярное произведение \( a \cdot b \): \[ a \cdot b = (-4) \cdot 5 + 5 \cdot (-4) = -20 - 20 = -40 \]
Длина вектора \( a \) (обозначается как \( ||a|| \)): \[ ||a|| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \]
Длина вектора \( b \) (обозначается как \( ||b|| \)): \[ ||b|| = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \]
Подставим значения в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{||a|| \cdot ||b||} = \frac{-40}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{41}} = \frac{-40}{41} \]
Теперь у нас есть значение косинуса угла между векторами \( a \) и \( b \):
\[ \cos(\theta) = -\frac{40}{41} \]
- Вывод: Косинус угла между векторами \( a \) и \( b \) равен \( -\frac{40}{41} \).
Теперь вы можете использовать это значение для дальнейших расчетов или понять, что угол между этими векторами больше 90 градусов, так как косинус отрицательный.
